Soient A(xA,yA,zA) et B(xB,yB,zB).
AB=def(xB−xA,yB−yA,zB−zA).
La norme de a=(a1,a2,a3) est donnée par
∥a∥=a12+a22+a32Les opérations sur les vecteurs se font composante par composante.
Soit a=(a1,a2,a3) et b=(b1,b2,b3).
a+ba−bca=def(a1+b1,a2+b2,a3+b3)=def(a1−b1,a2−b2,a3−b3)=def(ca1,ca2,ca3)Si a=(4,0,3) et b=(−2,1,5), trouve ∥a∥ et les vecteurs a+b, a−b, 3b, 2a+5b.
Les vecteurs suivants forment la base canonique.
i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)Ces vecteurs permettent de réécrire
(a1,a2,a3)=a1i+a2j+a3kSi a=i+2j−3k et b=4i+7k, exprime le vecteur 2a+3b en termes de i,j,k
Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme vaut 1.
Si a=0, alors
u=∥a∥aest un vecteur unitaire.
Trouve le vecteur unitaire dans la direction de 2i−j−2k
Calculer les produits scalaires suivants:
(−1,7,4)⋅(6,2,−1/2)(i+2j−3k)⋅(2j−k)=…=…Si les vecteurs a et b ont 4 et 6 comme longeur, et que l'angle entre eux est 3π, trouve a⋅b.
En isolant cosθ dans la formule ci-dessus, on peut trouver l'angle entre deux vecteurs:
cosθ=∥v∥∥w∥v⋅wTrouve l'angle entre les vecteurs a=(2,2,−1) et b=(5,−3,2).
Deux vecteurs sont orthogonaux ou perpendiculaires si a⋅b=0.
Montre que 2i+2j−k est perpendiculaire à 5i−4j+2k
Le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs sont parallèles.
Trouver la projection de b=(1,1,2) sur a=(−2,3,1).
Écrivons a=(a1,a2,a3) et b=(b1,b2,b3).
a×b=(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)=ia1b1ja2b2ka3b3If a=(1,3,4) et b=(2,7,−5) montre que a×b=(−43,13,1)
u×v est un vecteur
Trouve un vecteur perpendiculaire au plan passant par P(1,4,6), Q(−2,5,−1) et R(1,−1,1)
Trouve l'aire du triangle passant par les points mentionnés ci-dessus
Le volume du parallélipipède déterminé par les vecteurs a, b, c est donné par
V=∥a⋅(b×c)∥.Montre que les vecteurs a=(1,4,−7), b=(2,−1,4) et c=(0,−9,18) sont coplanaires.
Une charrette est tiré sur 100m horizontalement par une force de 70N. Le manche de la charrette est à un angle de 35∘ de l'horizontale. Calcule le travail.
Un boulon est serré en appliquant une force de 40N à une clé anglaise. Calcule la norme du moment de force autour du boulon.