L'unité imaginaire, noté i, est un nombre tel que i2=−1.
On écrit parfois j au lieu de i (par exemple, en élecricité ou en Python).
Les règles algébriques des nombres réels sont étendues pour inclure i.
Calcule (−1+3i)(2−5i)
Écrire le nombre 2+5i−1+3i sous la forme a+bi
Toute l'algèbre développée sur R s'applique sur C.
Trouver les racines de l'équation
x2+x+1=0.
Un nombre complexe est un vecteur dans R2.
Que signifie multiplier un vecteur de R2 par i?
Multiplier par i=(0,1), c'est tourner de 90∘ dans le sens anti-horloger.
Représente la multiplication i⋅i.
Comment trouver r et θ?
Attention. Il se peut que l'arctangente ne donne pas le bon angle, vu que la calculatrice ne donne que la valeurs dans les quadrants I et IV.
θ=arctan(ab)+⎩⎨⎧π−π0si a<0,b>0si a<0,b<0sinonÉcrire les nombres suivants en coordonnées polaires, ensuite, les multiplier
z=−1+i,w=3−i
Multiplier par z, c'est
Diviser par z, c'est
En particulier, si z1=r1(cosθ1+isinθ1) et z2=r2(cosθ2+isinθ2), alors
z1z2=r1r2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2))z2z1=r2r1(cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2))Si vous revenez de la Vulcania, employez plutôt cette animation-ci:
Soit z=a+bi∈C. Le nombre z=a−bi est appelé complexe conjugué de z.
Écrire le nombre 2+5i−1+3i sous la forme a+bi
Calcule (21+21i)10
Calculer eiπ, e−1+iπ/2 et ii.
On peut également facilement prouver les formules de trigonométrie
Montrer que cos(a+b)=cosacosb−sinasinb
Soit z=reiθ. L'équation wn=z a pour solutions
wk=nreinθ+2kπ,k=0,1,…,n−1.Trouver les 6 solutions de w6=−8.
On cherche souvent à résoudre des équations différentielles du type:
af′′+bf′+cf=0.Si l'on écrit f(t)=ezt, que devient l'équation ci-dessus?Dans ce langage, un inducteur se comporte comme une "résistance complexe".