Sur N0, l'exponentiation est simplement une multiplication répétée.
Soient m,n∈N deux nombres naturels non-nuls.
aman(am)nanam=am+n=amn=am−n,(m>n)On veut étendre l'exponentiation de manière a garder les règles du slide précédent.
En secondaire, on vous définit R comme l'ensemble des rationnels et irrationnels, et l'ensemble des irrationnels comme les réels moins les rationnels. Personnellement, je ne vois pas comment vous avez toléré ça.
À la fin de notre processus d'extension, on retrouve la ... trigonométrie.
Soient x,y∈R et a>0.
axay(ax)yayaxa0a−1an1=ax+y=axy=ax−y=1=a1=naQue vaut 00?
Quelles sont les propriétés des exponentielles?
Il existe un unique nombre réel noté e tel que
h→0limheh−1=1.En mathématiques modernes, l'exponentielle est définie comme ceci:
ex=def1+x+2x2+1⋅2⋅3x3+1⋅2⋅3⋅4x4+…Dériver le membre de droite. Que se passe-t-il?
Le membre de droite est calculable par un ordinateur et a un sens sur les complexes
Les formules trigonométriques ci-dessus ne sont valables que en radians.
Nous cherchons une fonction qui décrit l'ordre de grandeur d'un nombre:
En d'autres termes, on aimerait avoir f(10p)=p. En généralisant, on remarque qu'on veut la fonction réciproque de x↦10x.
L'équation différentielle
ay′′+by′+cy=0a pour solution y=eλx si et seulement si
aλ2+bλ+c=0.Résoudre
Soit a>0. On définit la fonction logax telle que
logaax=x.Les fonctions exponentielles et logarithmes sont les mêmes à une transformation graphique près.
Pour a,b>0 et différents de 1 il existe k∈R
axlogax=bkx=k1logbxQuand a=e, on obtient
(ex)′(logax)′=ax=x1.