Chapitre 1: Trigonométrie

Bienvenue à l'ECAM
19:52

(Re-)Bienvenue! Je vous souhaite une excellente année académique, en espérant qu'elle soit fructueuse, enrichissante, instructive et pleine de belles rencontres.

Malheureusement, je dois vous rappeler quelques règles avant de commencer le cours:

Ponctualité: les retardataires ne seront admis qu'en une fois 15 minutes après le début du cours.
Respect du temps de parole: silence lorsque quelqu'un·e s'exprime.
Respect mutuel et de l'apprentissage du groupe

À propos de ce cours
19:52

Objectifs

Rappel des notions du cours de mathématiques 6h du secondaire qui vous seront utiles

Théorie

NGUYEN Khoi (NGY)

Exercices

ANNENKOFF David (ANN), GUERRIERI Rolando (R5G), JOLY Marius (MJ5), MARCHAL Jonas (JM5), NGUYEN Khoi (NGY)

Resources

Stewart, J. (2020). Calculus. Cengage Learning.
Slides annotés sur mon site web: https://nguyen.me.uk

Pour les curieux, les slides sont écrits en TypeScript et sont disponibles sur Github.

Brève présentation

Enseignant en GEI
Mes intérêts:
- La pédagogie
- Les mathématiques
- Le logiciel libre
- Les technologies front-end

Où trouver les slides?
19:52

Instructions

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Choisissez le cours "Pont Mathématique"

Plan du cours
19:52

Trigonométrie
Vecteurs
Nombres complexes
Algèbre
Systèmes
Géométrie
Fonctions et limites
Dérivée
Fonctions réciproques

Degrés et radians (Stewart (2020), p. A24)
19:52

Le radian (rad) et le degré ( $\circ$ ) sont deux unités d'angle proportionnelles satisfaisant $1 demi-tour = π rad = 18 0^{\circ} .$

Degrés	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
Radians	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$

Question (Comment convertir?)

Simplement employer une règle de trois, ou la règle suivante:

Example (Conversions)

Convertir 1 radian en degrés

Convertir entre radians et degrés
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Example (Conversions)

Convertir $6 0^{\circ}$ en radians
Convertir $5 π /4$ en degrés

Exercices 1-12 (Stewart (2020), p. A32)

Remark

Tout au long du cours, je mettrais des fragments de code en Python que vous pourrez exécuter et modifier. Ceux-ci ne font pas partie du cours en tant que tel mais n'hésitez pas à expérimenter!

Pourquoi plusieurs unités?
19:52

Question (Pourquoi plusieurs unités?)

Les degrés ont tendance à être des nombres plus facilement manipulables. $quart de tour = 9 0^{\circ} = 1.5707963 \dots (rad)$
Les radians donnent des formules plus faciles pour
- dérivation et l'intégration/primitivation
- longueur l'arc et aire de secteur

Longueur d'arc (Stewart (2020), p. A24)
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Proposition

La longueur de l'arc de cercle de rayon $r$ intercepté par un angle au centre d'amplitude en radians $θ$ est donnée par

L = r θ

Remark (Interprétation du radian)

Dans un cercle de rayon 1, on a $L = θ$ , donc l'amplitude correspond à l'arc de cercle.

Longueur d'arc: exemple (Stewart (2020), p. A24)
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Example

Si le rayon est de 5cm, quel angle est sous-tendu par un arc de 6cm?
Si le cercle a un rayon de 3cm, quel est la longueur de l'arc sous-tendu par un angle au centre de $3 π /8$ ?

Exercices: 13-16 (Stewart (2020), p. A32).

Rapports trigonométriques
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Considérons un triangle rectangle dont un des angles aigus a pour mesure $θ$ .

Definition (SOH CAH TOA)

sin θ = def \frac{oppos e ˊ}{hypoth e ˊ nuse}, cos θ = def \frac{adjacent}{hypoth e ˊ nuse}, tan θ = def \frac{oppos e ˊ}{adjacent} .

Question

En quoi les membres de droite dépendent de $θ$ ?

Remark

Habituez-vous à la situation standard de trouver des longueurs quand l'angle est connu et mesuré par rapport à l'horizontale.

Exemple: rapports trigonométriques
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Example (Trouver des nombres trigonométriques)

Si $cos θ = \frac{2}{5}$ and $0 < θ < π /2$ , trouver les autres nombres trigonométriques.

Example (Trouver des longueurs)

Dans un triangle rectangle où le côté opposé à un angle de $4 0^{\circ}$ fait 16cm, trouver la longueur du côté adjacent.

Cercle trigonométrique
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Le cercle trigonométrique est un cercle centré à l'origine de rayon $1$ .
Par convention, un angle est orienté positivement dans le sens antihorloger (de $x$ vers $y$ ), ou négativement sinon.
Pour un point $P$ sur le cercle, on définit $cos$ et $sin$ de sorte que $OP = (cos θ, sin θ), θ = A OP,$

Question

Comment lire la tangente et la cotangente sur le cercle trigonométrique?

Cercle trigonométrique: animation
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Périodicité, symétrie, angles associés
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Proposition (Périodicité)

$sin (x + 2 π) = sin x$
$cos (x + 2 π) = cos x$
$tan (x + π) = tan x$

Proposition (Parité)

sin (- θ) cos (- θ) = - sin θ = cos θ

Proposition (Autres propriétés)

sin (π - x) cos (π - x) sin (π + x) cos (π + x) = sin x = - cos x = - sin x = - cos x .

Identités fondamentales (Stewart (2020), p. A28)
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Proposition

sin^{2} x + cos^{2} x = 1, tan^{2} x + 1 = \frac{1}{cos ^{2} x}, 1 + cos^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}

Propriétés d'addition et de soustraction
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Proposition (Formules d'addition)

sin (x \pm y) cos (x \pm y) tan (x \pm y) = sin x cos y \pm cos x sin y = cos x cos y \mp sin x sin y = \frac{tan x + tan y}{1 \mp tan x tan y}

Corollary (Formules de duplication)

sin (2 x) cos (2 x) tan (2 x) = 2 sin x cos x = cos^{2} x - sin^{2} x = \frac{2 tan x}{1 - tan ^{2} x}

Formules de duplication: suite
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Corollary (Formules de duplication)

sin (2 x) cos (2 x) tan (2 x) = 2 sin x cos x = cos^{2} x - sin^{2} x = \frac{2 tan x}{1 - tan ^{2} x}

Remark

En utilisant la formule fondamentale, on peut également exprimer $cos 2 x$ en une fonction trigonométrique:

cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x .

En réorganisant, ces formules deviennent:

cos^{2} x = \frac{1 + cos 2 x}{2} sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}

Formules de Simpson
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Proposition (Formules de Simpson)

cos p + cos q cos p - cos q sin p + sin q sin p - sin q = 2 cos \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2} = - 2 sin \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2} = 2 sin \frac{p + q}{2} cos \frac{p - q}{2} = 2 cos \frac{p + q}{2} sin \frac{p - q}{2}

Exercices: identités trigonométriques
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Graphes trigonométriques
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Résoudre des équations trigonométriques
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Instructions

Utiliser les identités trigonométriques pour obtenir des équations du type $sin (\dots) = \dots$ .
Trouver une valeur pour l'argument avec les fonctions trigonométriques inverses
Utiliser les symmétries du cercle trigonométrique pour trouver d'autres valeurs possibles pour l'argument
Résoudre les équations en termes de l'argument

Example

Trouver toutes les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[0, 2 π]$ telles que $sin x = sin 2 x$ .

Résoudre des équations trigonométriques: exercices
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Le théorème d'Al-Kashi
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Theorem (Al-Kashi ou Pythagore généralisé)

Soit un triangle dont les côtés ont

a, b, c

comme longueur. Si l'on denote

γ

l'angle opposé à

c

, alors on a

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos γ .

Bienvenue à l'ECAM19:52

À propos de ce cours19:52

Brève présentation

Où trouver les slides?19:52

Instructions

Plan du cours19:52

Degrés et radians (Stewart (2020), p. A24)19:52

Question (Comment convertir?)

Example (Conversions)

Convertir entre radians et degrés19:52

Example (Conversions)

Remark

Pourquoi plusieurs unités?19:52

Question (Pourquoi plusieurs unités?)

Longueur d'arc (Stewart (2020), p. A24)19:52

Proposition

Remark (Interprétation du radian)

Longueur d'arc: exemple (Stewart (2020), p. A24)19:52

Example

Rapports trigonométriques19:52

Definition (SOH CAH TOA)

Question

Remark

Exemple: rapports trigonométriques19:52

Example (Trouver des nombres trigonométriques)

Example (Trouver des longueurs)

Cercle trigonométrique19:52

Question

Cercle trigonométrique: animation19:52

Périodicité, symétrie, angles associés19:52

Proposition (Périodicité)

Proposition (Parité)

Proposition (Autres propriétés)

Identités fondamentales (Stewart (2020), p. A28)19:52

Proposition

Propriétés d'addition et de soustraction19:52

Proposition (Formules d'addition)

Corollary (Formules de duplication)

Formules de duplication: suite19:52

Corollary (Formules de duplication)

Remark

Formules de Simpson19:52

Proposition (Formules de Simpson)

Exercices: identités trigonométriques19:52

Graphes trigonométriques19:52

Graphes trigonométriques19:52

Résoudre des équations trigonométriques19:52

Instructions

Example

Résoudre des équations trigonométriques: exercices19:52

Le théorème d'Al-Kashi19:52

Theorem (Al-Kashi ou Pythagore généralisé)

Bienvenue à l'ECAM
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À propos de ce cours
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Plan du cours
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Degrés et radians (Stewart (2020), p. A24)
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Convertir entre radians et degrés
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Pourquoi plusieurs unités?
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Longueur d'arc (Stewart (2020), p. A24)
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Longueur d'arc: exemple (Stewart (2020), p. A24)
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Rapports trigonométriques
19:52

Exemple: rapports trigonométriques
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Cercle trigonométrique
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Cercle trigonométrique: animation
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Périodicité, symétrie, angles associés
19:52

Identités fondamentales (Stewart (2020), p. A28)
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Propriétés d'addition et de soustraction
19:52

Formules de duplication: suite
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Formules de Simpson
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Exercices: identités trigonométriques
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Graphes trigonométriques
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Graphes trigonométriques
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Résoudre des équations trigonométriques
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Résoudre des équations trigonométriques: exercices
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Le théorème d'Al-Kashi
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