Chapitre 2: Vecteurs

Vecteurs (point de vue géométrique)
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Addition (Loi du parallélogramme)
Multiplication Scalaire
Soustraction: $a - b$
Relation de Chasles

Composants (Stewart (2020), p. 840)
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Soient $A (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ et $B (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ .

AB = def (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A}) .

Example

Trouver le vecteur reliant

A (2, - 3, 4)

B (- 2, 1, 1)

, c'est-à-dire

AB

Longueur ou norme d'un vecteur (Stewart (2020), p. 841)
19:44

Definition (Norme)

La norme de $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ est donnée par

∥ a ∥ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}

Somme et multiplication scalaire (Stewart (2020), p. 841)
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Les opérations sur les vecteurs se font composante par composante.

Soit $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ et $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ .

a + b a - b c a = def (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}) = def (a_{1} - b_{1}, a_{2} - b_{2}, a_{3} - b_{3}) = def (c a_{1}, c a_{2}, c a_{3})

Example

Si $a = (4, 0, 3)$ et $b = (- 2, 1, 5)$ , trouve $∥ a ∥$ et les vecteurs $a + b$ , $a - b$ , $3 b$ , $2 a + 5 b$ .

Base canonique (Stewart (2020), p. 842)
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Les vecteurs suivants forment la base canonique.

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)

Ces vecteurs permettent de réécrire

(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k

Example

Si $a = i + 2 j - 3 k$ et $b = 4 i + 7 k$ , exprime le vecteur $2 a + 3 b$ en termes de $i, j, k$

Vecteur unitaire (Stewart (2020), p. 843)
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Definition (Vecteur unitaire)

Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme vaut $1$ .

Si $a \neq = 0$ , alors

u = \frac{a}{∥ a ∥}

est un vecteur unitaire.

Example

Trouve le vecteur unitaire dans la direction de $2 i - j - 2 k$

Produit scalaire (Stewart (2020), p. 847)
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Definition (Produit scalaire)

a \cdot b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos θ = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})

Example

Calculer les produits scalaires suivants:

(- 1, 7, 4) \cdot (6, 2, - 1/2) (i + 2 j - 3 k) \cdot (2 j - k) = \dots = \dots

Example

Si les vecteurs $a$ et $b$ ont $4$ et $6$ comme longeur, et que l'angle entre eux est $\frac{π}{3}$ , trouve $a \cdot b$ .

Angle entre deux vecteurs
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En isolant $cos θ$ dans la formule ci-dessus, on peut trouver l'angle entre deux vecteurs:

cos θ = \frac{v \cdot w}{∥ v ∥ ∥ w ∥}

Example

Trouve l'angle entre les vecteurs $a = (2, 2, - 1)$ et $b = (5, - 3, 2)$ .

Deux vecteurs sont orthogonaux ou perpendiculaires si $a \cdot b = 0$ .

Example

Montre que $2 i + 2 j - k$ est perpendiculaire à $5 i - 4 j + 2 k$

Produit scalaire: animation
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Le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs sont parallèles.

produit scalaire $< 0$ : angle obtus
produit scalaire $= 0$ : angle droit
produit scalaire $> 0$ : angle aigu

Projection (Stewart (2020), p. 851)
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proj_{a} (b) = \frac{b \cdot a}{∥ a ∥ ^{2}} a

Example

Trouver la projection de $b = (1, 1, 2)$ sur $a = (- 2, 3, 1)$ .

Produit vectoriel
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Écrivons $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ et $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ .

a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) = i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3}

Example

If $a = (1, 3, 4)$ et $b = (2, 7, - 5)$ montre que $a \times b = (- 43, 13, 1)$

Produit vectoriel: interpretation
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Interpretation

$u \times v$ est un vecteur

orthogonal à $u$ et à $v$ .
dont la norme est l'aire du parallélogramme formé par $u$ et $v$ . $∥ a \times b ∥ = ∥ a ∥ ∥ b ∥ sin θ$
Respectant la règle de la main droite.

Produit vectoriel: examples (Stewart (2020), p. 858)
19:44

Example

Trouve un vecteur perpendiculaire au plan passant par $P (1, 4, 6)$ , $Q (- 2, 5, - 1)$ et $R (1, - 1, 1)$

Example

Trouve l'aire du triangle passant par les points mentionnés ci-dessus

Propriétés du produit vectoriel
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i \times j = k, j \times k = i, k \times i = j,

Proposition

a \times b (c a) \times b a \times (b + c) (a + b) \times c a \cdot (b \times c) a \times (b \times c) = - b \times a = c (a \times b) = a \times (c b) = a \times b + a \times c = a \times c + b \times c = (a \times b) \cdot c = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

Triple produit (Stewart (2020), pp. 859-860)
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a \cdot (b \times c) = a_{1} b_{1} c_{1} a_{2} b_{2} c_{2} a_{3} b_{3} c_{3}

Proposition

Le volume du parallélipipède déterminé par les vecteurs $a$ , $b$ , $c$ est donné par

V = ∥ a \cdot (b \times c) ∥ .

Example

Montre que les vecteurs $a = (1, 4, - 7)$ , $b = (2, - 1, 4)$ et $c = (0, - 9, 18)$ sont coplanaires.

Applications
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W = F \cdot D Travail d’une force

Example

Une charrette est tiré sur 100m horizontalement par une force de 70N. Le manche de la charrette est à un angle de $3 5^{\circ}$ de l'horizontale. Calcule le travail.

M = r \times F Moment d’une force

Example

Un boulon est serré en appliquant une force de 40N à une clé anglaise. Calcule la norme du moment de force autour du boulon.

Exercices: base
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Exercices: produits scalaires et vectoriels
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Vecteurs (point de vue géométrique)19:44

Composants (Stewart (2020), p. 840)19:44

Example

Longueur ou norme d'un vecteur (Stewart (2020), p. 841)19:44

Definition (Norme)

Somme et multiplication scalaire (Stewart (2020), p. 841)19:44

Example

Base canonique (Stewart (2020), p. 842)19:44

Example

Vecteur unitaire (Stewart (2020), p. 843)19:44

Definition (Vecteur unitaire)

Example

Produit scalaire (Stewart (2020), p. 847)19:44

Definition (Produit scalaire)

Example

Example

Angle entre deux vecteurs19:44

Example

Example

Produit scalaire: animation19:44

Projection (Stewart (2020), p. 851)19:44

Example

Produit vectoriel19:44

Example

Produit vectoriel: interpretation19:44

Interpretation

Produit vectoriel: examples (Stewart (2020), p. 858)19:44

Example

Example

Propriétés du produit vectoriel19:44

Proposition

Triple produit (Stewart (2020), pp. 859-860)19:44

Proposition

Example

Applications19:44

Example

Example

Exercices: base19:44

Exercices: base19:44

Exercices: produits scalaires et vectoriels19:44

Vecteurs (point de vue géométrique)
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Composants (Stewart (2020), p. 840)
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Longueur ou norme d'un vecteur (Stewart (2020), p. 841)
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Somme et multiplication scalaire (Stewart (2020), p. 841)
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Base canonique (Stewart (2020), p. 842)
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Vecteur unitaire (Stewart (2020), p. 843)
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Produit scalaire (Stewart (2020), p. 847)
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Angle entre deux vecteurs
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Produit scalaire: animation
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Projection (Stewart (2020), p. 851)
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Produit vectoriel
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Produit vectoriel: interpretation
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Produit vectoriel: examples (Stewart (2020), p. 858)
19:44

Propriétés du produit vectoriel
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Triple produit (Stewart (2020), pp. 859-860)
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Applications
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Exercices: base
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Exercices: base
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Exercices: produits scalaires et vectoriels
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