Chapitre 3: Nombres complexes

Nombres complexes: approche algébrique
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Definition (Unité imaginaire)

L'unité imaginaire, noté $i$ , est un nombre tel que $i^{2} = - 1$ .

C = def {a + bi : a, b \in R} .

z = Re z a + Im z b i

Remark (Notation)

On écrit parfois $j$ au lieu de $i$ (par exemple, en élecricité ou en Python).

Les règles algébriques des nombres réels sont étendues pour inclure $i$ .

Manipulations algébriques
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Example

Calcule $(- 1 + 3 i) (2 - 5 i)$

Example

Écrire le nombre $\frac{- 1 + 3 i}{2 + 5 i}$ sous la forme $a + bi$

Résoudre des équations
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Toute l'algèbre développée sur $R$ s'applique sur $C .$

Example

Trouver les racines de l'équation

x^{2} + x + 1 = 0.

Nombres complexes: interprétation géométrique
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Definition

Un nombre complexe est un vecteur dans $R^{2}$ .

Remark

Pour ne pas alourdir la notation, on identifie un nombre réel $x$ à son équivalent complexe $(x, 0)$ .
Le vecteur $(0, 1)$ est dénoté $i$ .

L'addition de nombres complexes est l'addition vectorielle
La multiplication de nombres complexes est l'extension de la multiplication scalaire d'un vecteur.
Dans le contexte des nombres complexes, on parle de plan de Gauss.

Multiplication par $i$
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Question

Que signifie multiplier un vecteur de $R^{2}$ par $i$ ?

Multiplier par $i = (0, 1)$ , c'est tourner de $9 0^{\circ}$ dans le sens anti-horloger.

Example

Représente la multiplication $i \cdot i$ .

Coordonnées polaires
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Tout nombre complexe

z

peut s'écrire

z = r (cos θ + i sin θ)

$r$ est la norme (appelée module, noté $∣ z ∣$ ) du nombre complexe
$θ$ est l'angle avec l'axe réel (appelé argument, noté $ar g z$ )

Question

Comment trouver $r$ et $θ$ ?

Proposition

{a = r cos θ b = r sin θ ⟺ {r = a^{2} + b^{2} tan θ = \frac{b}{a}

Attention. Il se peut que l'arctangente ne donne pas le bon angle, vu que la calculatrice ne donne que la valeurs dans les quadrants I et IV.

θ = arctan (\frac{b}{a}) + ⎩ ⎨ ⎧ π - π 0 si a < 0, b > 0 si a < 0, b < 0 sinon

Exemples: conversions en coordonnées polaires
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Example

Écrire les nombres suivants en coordonnées polaires, ensuite, les multiplier

z = - 1 + i, w = 3 - i

Interprétation de la multiplication complexe
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Multiplier par $z$ , c'est

Multiplier par $∣ z ∣$
Effectuer une rotation de $ar g z$

Diviser par $z$ , c'est

Diviser par $∣ z ∣$
Effectuer une rotation de $- ar g z$

En particulier, si $z_{1} = r_{1} (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ et $z_{2} = r_{2} (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ , alors

z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} (cos (θ_{1} + θ_{2}) + i sin (θ_{1} + θ_{2})) \frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{r _{1}}{r _{2}} (cos (θ_{1} - θ_{2}) + i sin (θ_{1} - θ_{2}))

Multiplication complexe: animation
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Si vous revenez de la Vulcania, employez plutôt cette animation-ci:

Conjuguaison
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Definition (Complexe conjugué)

Soit $z = a + bi \in C$ . Le nombre $\overline{z} = a - bi$ est appelé complexe conjugué de $z$ .

Proposition

\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}, \overline{z w} = \overline{z} \overline{w}, z \overline{z} = ∣ z ∣^{2}

Example

Écrire le nombre $\frac{- 1 + 3 i}{2 + 5 i}$ sous la forme $a + bi$

Formule de de Moivre
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Theorem (Formule de de Moivre)

(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ .

Example

Calcule $(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i)^{10}$

Formule d'Euler
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Theorem (Formule d'Euler)

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

Example

Calculer $e^{iπ}$ , $e^{- 1 + iπ /2}$ et $i^{i}$ .

On peut également facilement prouver les formules de trigonométrie

Example

Montrer que $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$

Racines n-ième
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Proposition

Soit $z = r e^{i θ}$ . L'équation $w^{n} = z$ a pour solutions

w_{k} = n r e^{i \frac{θ + 2 kπ}{n}}, k = 0, 1, \dots, n - 1.

Example

Trouver les 6 solutions de $w^{6} = - 8$ .

Exercices
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Applications
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On cherche souvent à résoudre des équations différentielles du type:

a f^{''} + b f^{'} + c f = 0.

Si l'on écrit

f (t) = e^{z t}

, que devient l'équation ci-dessus?

Électricité
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Courant alternatif: $U (t) = U_{0} cos (ω t) \to U_{0} e^{iω t}$
Inducteur: $U (t) = L i^{'} (t) ⟹ i (t) = \frac{U ( t )}{iω L}$

Dans ce langage, un inducteur se comporte comme une "résistance complexe".

Nombres complexes: approche algébrique19:21

Definition (Unité imaginaire)

Remark (Notation)

Manipulations algébriques19:21

Example

Example

Résoudre des équations19:21

Example

Nombres complexes: interprétation géométrique19:21

Definition

Remark

Multiplication par i19:21

Question

Example

Coordonnées polaires19:21

Question

Proposition

Exemples: conversions en coordonnées polaires19:21

Example

Interprétation de la multiplication complexe19:21

Multiplication complexe: animation19:21

Conjuguaison19:21

Definition (Complexe conjugué)

Proposition

Example

Formule de de Moivre19:21

Theorem (Formule de de Moivre)

Example

Formule d'Euler19:21

Theorem (Formule d'Euler)

Example

Example

Racines n-ième19:21

Proposition

Example

Exercices19:21

Applications19:21

Électricité19:21

Nombres complexes: approche algébrique
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Manipulations algébriques
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Résoudre des équations
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Nombres complexes: interprétation géométrique
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Multiplication par $i$
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Coordonnées polaires
19:21

Exemples: conversions en coordonnées polaires
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Interprétation de la multiplication complexe
19:21

Multiplication complexe: animation
19:21

Conjuguaison
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Formule de de Moivre
19:21

Formule d'Euler
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Racines n-ième
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Exercices
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Applications
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Électricité
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