Chapitre 4: Équations

Identités remarquables
19:29

Proposition (Identités remarquables)

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2} a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Équations simples
19:29

Lorsque $x$ apparaît qu'une seule fois (potentiellement après une manipulation algébrique simple), il suffit d'isoler.

Examples

$3 x + 7 = 11$
$2 x + 4 = x - 2$
$x^{2} + 7 = 3$
$(x - 2)^{2} = 16$

Factorisation
19:29

Pour les équations complexes, la règle du produit nul est utile:

x y = 0 ⟹ x = 0 or y = 0.

Example

Résoudre l'équation

(x + 2) (x^{2} - 4) (e^{x} - 4) = 0

Équations du second degré: factorisation
19:29

Proposition (Somme-Produit)

(x + α) (x + β) = x^{2} + somme (α + β) x + produit α β

Examples

Factoriser les membres de gauche et résolvez les équations:

$x^{2} + 5 x + 6 = 0$
$x^{2} - x - 12 = 0$
$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Équations du second degré: formule quadratique
19:29

Méthode préférée des étudiants car on peut éteindre son cerveau et déléguer le travail à la calculatrice.

Proposition (Formule quadratique)

a x^{2} + b x + c = 0 ⟹ x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Si seules les solutions réelles nous intéressent, l'équation a

aucune solution si $Δ = def b^{2} - 4 a c < 0$
1 solution si $Δ = 0$ .
2 solution si $Δ > 0$ .

Formule quadratique: exemples
19:29

Example

Sachant que l'équation

k x^{2} + (4 k + 1) x + (3 k + 1) = 0

possède une solution, trouver la valeur de $k$ .

Example

L'équation $x^{2} + 4 k x + 3 k = 0$ possède deux solutions. Prouver que $k (4 k - 3) > 0$ et déduire les valeurs possibles pour $k$ .

Système de deux équations à deux inconnues
19:29

Examples

{y = 2 x - 3 x^{2} + y^{2} = 2, {3 x + 2 y = 7 4 x - 3 y = 15

En dimension supérieure
19:29

Example

⎩ ⎨ ⎧ x - 3 y - 6 z = - 16 2 x + 3 y + 5 z = 0 - 4 x + 3 y + 4 z = 20

Transformer en une matrice
Obtenir une matrice échelonnée
Résoudre le système échelonné

Système avec paramètre
19:29

Example

⎩ ⎨ ⎧ 3 x + y - z = 1 x - 2 y + 2 z = m x + y - z = 1

Système avec paramètre
19:29

Example

⎩ ⎨ ⎧ a x + (1 - a) y + (1 - a) z = a^{2} a x + (1 + a) y + (1 + a) z = a - a^{2} x + y + z = 1 - a

Systèmes: interprétation
19:29

Dans un système de deux équations à deux inconnues, chaque équation représente une droite. La solution du système est l'intersection.

Example

{x + y x - y = 2 = 0

Systèmes: cas possibles en dimensions 2 et 3
19:29

Questions de niveau examen: discriminant
19:29

Questions de niveau examen: systèmes
19:29

Identités remarquables19:29

Proposition (Identités remarquables)

Équations simples19:29

Examples

Factorisation19:29

Example

Équations du second degré: factorisation19:29

Proposition (Somme-Produit)

Examples

Équations du second degré: formule quadratique19:29

Proposition (Formule quadratique)

Formule quadratique: exemples19:29

Example

Example

Système de deux équations à deux inconnues19:29

Examples

En dimension supérieure19:29

Example

Système avec paramètre19:29

Example

Système avec paramètre19:29

Example

Systèmes: interprétation19:29

Example

Systèmes: cas possibles en dimensions 2 et 319:29

Questions de niveau examen: discriminant19:29

Questions de niveau examen: systèmes19:29

Identités remarquables
19:29

Équations simples
19:29

Factorisation
19:29

Équations du second degré: factorisation
19:29

Équations du second degré: formule quadratique
19:29

Formule quadratique: exemples
19:29

Système de deux équations à deux inconnues
19:29

En dimension supérieure
19:29

Système avec paramètre
19:29

Système avec paramètre
19:29

Systèmes: interprétation
19:29

Systèmes: cas possibles en dimensions 2 et 3
19:29

Questions de niveau examen: discriminant
19:29

Questions de niveau examen: systèmes
19:29