Chapitre 6: Fonctions

Fonctions
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Une fonction est une relation associant à chaque nombre $x$ au plus un nombre $f (x)$ (si défini)
Domaine: ensemble des nombres qui ont une valeur par la fonction
Image: ensemble des valeurs atteintes
Fonction paire: symmétrique en l'axe des $y$
Fonction impaire: symmétrie centrale autour de l'origine
Croissance: fonction n'affecte pas l'ordre

Fonctions usuelles
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Transformations de graphes
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y = a f (b x + c) + d

Compression verticale de facteur $b$
Translation horizontale de $\frac{- c}{b}$
Étirement vertical de facteur $a$
Translation verticale de $d$

Opérations de fonctions
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A partir de fonctions élémentaires, on peut en créer d'autres

(f \pm g) (x) = f (x) \pm g (x) (f \cdot g) (x) = f (x) g (x) \frac{f}{g} (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}

Definition (Fonctions composées)

(f \circ g) (x) = f (g (x))

Example

Si $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 3$ , trouver $f \circ g$ et $g \circ f$ .

Limites: introduction
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Parfois, on aimerait calculer la valeur d'une fonction en dehors du domaine.

f (x) = \frac{x ^{3} - x}{x - 1}

Dans l'exemple ci-dessus, $f (1)$ n'a pas de sens, mais on peut parler de valeur de $f (x)$ lorsque $x$ tend vers $1$ .

x \to 1 lim f (x) = 2.

Limites en un réel
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Definition (Limite en un réel)

On écrira $x \to a lim f (x) = L$ si $f (x)$ peut être arbitrairement proche de $L$ en imposant seulement que $x$ soit suffisament proche mais différent de $a$ .

Continuité
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Definition (Continuité)

Une fonction est continue en $a$ si

x \to a lim f (x) = f (a) .

Remark

On dira qu'une fonction est continue si elle est continue en tout point de son domaine.

Opérations sur les limites
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Proposition

On a les propriétés suivantes:

x \to a lim (f (x) \pm g (x)) = x \to a lim f (x) \pm x \to a lim g (x) x \to a lim f (x) g (x) = x \to a lim f (x) x \to a lim g (x) x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{lim _{x \to a} f ( x )}{lim _{x \to a} g ( x )}

à condition que le membre de droite ait un sens.

Proposition

f

est continue, alors

x \to a lim f (g (x)) = f (x \to a lim g (x))

si le membre de droit a un sens.

Limites en un réel: guide pratique
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Question

Comment calculer $lim_{x \to a} f (x)$ ?

Essayer de remplacer $x$ par $a$
Le binôme conjugué est pratique pour se débarasser des racines embêtantes
Factoriser et simplifier est la méthode principale pour lever les indéterminations
Une expression " $\frac{k}{0}$ " tendra en général vers $\pm \infty$ . On sépare gauche/droite et on utilise un tableau de signe.

Limites: exemples
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Example

Calculer les limites suivantes

x \to 1 lim \frac{x - 1}{x ^{2} - 1} x \to 3 lim \frac{2 x}{x - 3} t \to 0 lim \frac{t ^{2} + 9 - 3}{t ^{2}}

Théorème du 🥪
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Theorem (Teorema del sándwich)

{g (x) \leq f (x) \leq h (x) lim_{x \to a} g (x) = lim_{x \to a} h (x) ⟹ x \to a lim g (x) = x \to a lim f (x) = x \to a lim h (x)

Example

Calcule la limite suivante:

x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x}

Limites en l'infini
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Il suffit d'applique la règle de la plus haute puissance.

Example

x \to - \infty lim \frac{x ^{2} + 3 x - 2}{x ^{2} + 3}

Asymptotes
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Limite infinie en un réel: asymptote verticale $x \to a^{+} lim f (x) = \pm \infty or x \to a^{-} lim f (x) = \pm \infty ⟹ AV \equiv x = a$
Limite finie à l'infini: asymptote horizontale $x \to + \infty lim f (x) = L or x \to - \infty lim f (x) = L ⟹ AH \equiv y = L$

Exercices: Transformations de graphes
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Exercices: composition et inverse
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Exercices: limites et asymptotes
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Fonctions19:30

Fonctions usuelles19:30

Transformations de graphes19:30

Opérations de fonctions19:30

Definition (Fonctions composées)

Example

Limites: introduction19:30

Limites en un réel19:30

Definition (Limite en un réel)

Continuité19:30

Definition (Continuité)

Remark

Opérations sur les limites19:30

Proposition

Proposition

Limites en un réel: guide pratique19:30

Question

Limites: exemples19:30

Example

Théorème du 🥪19:30

Theorem (Teorema del sándwich)

Example

Limites en l'infini19:30

Example

Asymptotes19:30

Exercices: Transformations de graphes19:30

Exercices: composition et inverse19:30

Exercices: limites et asymptotes19:30

Fonctions
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Fonctions usuelles
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Transformations de graphes
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Opérations de fonctions
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Limites: introduction
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Limites en un réel
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Continuité
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Opérations sur les limites
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Limites en un réel: guide pratique
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Limites: exemples
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Théorème du 🥪
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Limites en l'infini
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Asymptotes
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Exercices: Transformations de graphes
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Exercices: composition et inverse
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Exercices: limites et asymptotes
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