Chapitre 8: Exponentielles et logarithmes

Multiplication répétée
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Question

Que signifie $3^{4}$ ?
Que signifie $3^{- 1}$ ?
Que signifie $3^{0}$ ?
Que signifie $3^{π}$ ?
Que signifie $e^{iπ}$ ?
Que signifie $i^{i}$ ?

Règles des puissances: version 1
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Sur $N_{0}$ , l'exponentiation est simplement une multiplication répétée.

Proposition

Soient $m, n \in N$ deux nombres naturels non-nuls.

a^{m} a^{n} (a^{m})^{n} \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m + n} = a^{mn} = a^{m - n}, (m > n)

Extension de l'exponentiation
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On veut étendre l'exponentiation de manière a garder les règles du slide précédent.

Question

Extension à $Z$
Extension à $Q$
Extension à $R$
Extension à $C$

Remark

En secondaire, on vous définit $R$ comme l'ensemble des rationnels et irrationnels, et l'ensemble des irrationnels comme les réels moins les rationnels. Personnellement, je ne vois pas comment vous avez toléré ça.

À la fin de notre processus d'extension, on retrouve la ... trigonométrie.

Règles des puissances: version 2
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Proposition

Soient $x, y \in R$ et $a > 0$ .

a^{x} a^{y} (a^{x})^{y} \frac{a ^{x}}{a ^{y}} a^{0} a^{- 1} a^{\frac{1}{n}} = a^{x + y} = a^{x y} = a^{x - y} = 1 = \frac{1}{a} = n a

Question

Que vaut $0^{0}$ ?

Graphe des exponentielles
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Question

Quelles sont les propriétés des exponentielles?

Le nombre d'Euler
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Proposition

(a^{x})^{'} = (h \to 0 lim \frac{a ^{h} - 1}{h}) a^{x}

Definition (Nombre d'Euler)

Il existe un unique nombre réel noté $e$ tel que

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} = 1.

Définition de l'exponentielle
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En mathématiques modernes, l'exponentielle est définie comme ceci:

e^{x} = def 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{x ^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \dots

Exercise

Dériver le membre de droite. Que se passe-t-il?

Remark

Le membre de droite est calculable par un ordinateur et a un sens sur les complexes

Retour de la formule d'Euler
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e^{x} sin x cos x = def 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots = def x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} \dots = def 1 - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \frac{x ^{6}}{6 !} \dots

Remark

Les formules trigonométriques ci-dessus ne sont valables que en radians.

Theorem (Formule d'Euler)

e^{i x} = cos x + i sin x

Vers le logarithme
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Nous cherchons une fonction qui décrit l'ordre de grandeur d'un nombre:

$f (1) = 0$
$f (10) = 1$
$f (100) = 2$
$f (0.1) = - 1$
$f (0.01) = - 2$

En d'autres termes, on aimerait avoir $f (1 0^{p}) = p$ . En généralisant, on remarque qu'on veut la fonction réciproque de $x \mapsto 1 0^{x}$ .

Applications: équations différentielles
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y = e^{λ x} ⟹ \frac{d ^{n} y}{d x ^{n}} = λ^{n} e^{λ x}

Proposition

L'équation différentielle

a y^{''} + b y^{'} + cy = 0

a pour solution $y = e^{λ x}$ si et seulement si

a λ^{2} + bλ + c = 0.

Example

Résoudre

$y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0$
$y^{''} + 1 = 0$

Graphes des logarithmes
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Logarithmes
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Definition (Logarithmes)

Soit $a > 0$ . On définit la fonction $lo g_{a} x$ telle que

lo g_{a} a^{x} = x .

Proposition (Logarithmes)

lo g_{a} x y lo g_{a} \frac{x}{y} lo g_{a} x^{y} lo g_{a} x = lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} x - lo g_{a} y = y lo g_{a} b = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}

One base to rule them all
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Les fonctions exponentielles et logarithmes sont les mêmes à une transformation graphique près.

Proposition

Pour $a, b > 0$ et différents de $1$ il existe $k \in R$

a^{x} lo g_{a} x = b^{k x} = \frac{1}{k} lo g_{b} x

Différentiation
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Proposition

(a^{x})^{'} (lo g_{a} x)^{'} = (ln a) a^{x} = \frac{1}{x ln a} .

Remark

Quand $a = e$ , on obtient

(e^{x})^{'} (lo g_{a} x)^{'} = a^{x} = \frac{1}{x} .

Questions d'examen sur les exponentielles
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Questions d'examen sur les logarithmes
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Multiplication répétée19:25

Question

Règles des puissances: version 119:25

Proposition

Extension de l'exponentiation19:25

Question

Remark

Règles des puissances: version 219:25

Proposition

Question

Graphe des exponentielles19:25

Question

Le nombre d'Euler19:25

Proposition

Definition (Nombre d'Euler)

Définition de l'exponentielle19:25

Exercise

Remark

Retour de la formule d'Euler19:25

Remark

Theorem (Formule d'Euler)

Vers le logarithme19:25

Applications: équations différentielles19:25

Proposition

Example

Graphes des logarithmes19:25

Logarithmes19:25

Definition (Logarithmes)

Proposition (Logarithmes)

One base to rule them all19:25

Proposition

Différentiation19:25

Proposition

Remark

Questions d'examen sur les exponentielles19:25

Questions d'examen sur les logarithmes19:25

Multiplication répétée
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Règles des puissances: version 1
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Extension de l'exponentiation
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Règles des puissances: version 2
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Graphe des exponentielles
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Le nombre d'Euler
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Définition de l'exponentielle
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Retour de la formule d'Euler
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Vers le logarithme
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Applications: équations différentielles
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Graphes des logarithmes
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Logarithmes
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One base to rule them all
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Différentiation
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Questions d'examen sur les exponentielles
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Questions d'examen sur les logarithmes
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