Chapitre 9: Un peu de tout

Injectivité et inversibilité
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Definition

Une fonction est injective ssi

x_{1} \neq = x_{2} ⟹ f (x_{1}) \neq = f (x_{2})

Remark

Une fonction est inversible ssi elle est injective.

Fonctions réciproques
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Proposition

Dérivée

(f^{- 1})^{'} (x) = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( x ))}

Arcsin
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Definition

La fonction $arcsin$ est la réciproque de $sin x$ restreinte à $[- π /2, π /2]$

Arccos
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Definition

La fonction $arccos$ est la réciproque de $cos x$ restreinte à $[0, π]$

Arctangente
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Definition

La fonction $arctan$ est la réciproque de $tan x$ restreinte à $[- π /2, π /2]$

Théorème de l'Hôpital
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Proposition

Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que

x \to a lim f (x) = x \to a lim g (x) = {0 \pm \infty

Alors on a

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}

à condition que la limite à droite existe (elle peut être infinie) et ait un sens.

Examples

Calculer les limites suivantes:

x \to 0 lim \frac{sin x}{x}, x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}}, x \to + \infty lim (1 + \frac{a}{x})^{x}

The limit does not exist
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Exercise

x \to 0 lim \frac{ln ( 1 - x ) - sin x}{1 - cos ^{2} x}

Quote (Lindsay Lohan)

Calling somebody fat doesn't make you any skinnier, calling somebody stupid doesn't make you any smarter [...] If the limit never approaches everything, the limit does not exist!

Exercices
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Équations différentielles
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Suppose que $f (x) = e^{λ x}$ . Montrer que

a f^{''} + b f^{'} + c f = 0 ⟺ a λ^{2} + bλ + c = 0.

Example

Trouve deux solutions à l'équation

2 \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} + 5 \frac{d y}{d x} + 3 y = 0.

Remark

Le polynôme du second degré associée à une équation différentielle s'appelle le polynôme caractéristique.

Équations différentielles et racines doubles
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Proposition

Si l'équation charactéristique admet une solution double $λ$ , les solutions sont données par

e^{λ x}, x e^{λ x}

Example

Trouve deux solutions à l'équation

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} - 6 \frac{d y}{d x} + 9 y = 0.

Équations différentielles et racines complexes
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Quand les racines sont complexes, il est utile d'appliquer la formule d'Euler pour revenir à deux solutions réelles.

Example

Trouve deux solutions réelles à l'équation

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} - 6 \frac{d y}{d x} + 34 y = 0.

Exercises
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C'est fini
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Voici une larme versée pour ~~chacunes de vos copies~~ chacun·e de vous.

😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭😭

(Ne partez pas, je parle juste de la matière)

Injectivité et inversibilité20:20

Definition

Remark

Fonctions réciproques20:20

Proposition

Arcsin20:20

Definition

Arccos20:20

Definition

Arctangente20:20

Definition

Théorème de l'Hôpital20:20

Proposition

Examples

The limit does not exist20:20

Exercise

Quote (Lindsay Lohan)

Exercices20:20

Équations différentielles20:20

Example

Remark

Équations différentielles et racines doubles20:20

Proposition

Example

Équations différentielles et racines complexes20:20

Example

Exercises20:20

C'est fini20:20

Trigonométrie20:20

Injectivité et inversibilité
20:20

Fonctions réciproques
20:20

Arcsin
20:20

Arccos
20:20

Arctangente
20:20

Théorème de l'Hôpital
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The limit does not exist
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Exercices
20:20

Équations différentielles
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Équations différentielles et racines doubles
20:20

Équations différentielles et racines complexes
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Exercises
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C'est fini
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Trigonométrie
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