Si $z=x^{2}y+3x{y}^4$ où $x=\sin 2t$ et $y=\cos t$, trouvez $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$ lorsque $t=0$.

The pressure P (in kilopascals), volume V (in liters), and temperature T (in kelvins) of a mole of an ideal gas are related by the equation $PV=8.31T$. Find the rate at which the pressure is changing when the temperature is 300 K and increasing at a rate of 0.1 K/s and the volume is 100 L and increasing at a rate of 0.2 L/s.

Si $z=e^x\sin y$ où $x=s{t}^2$ et $y=s^{2}t$, trouvez les dérivées partielles de $z$ en fonction de $s,t$.

Si $u=x^{4}y+y^2{z}^3$, où $x=rs{e}^t$, $y=r{s}^2{e}^{-t}$, et $z=r^{2}s\sin t$, trouvez la valeur de ${\partial }_{s}u$ quand $r=2,s=1,t=0$.

Si $g(s,t)=f(s^2-t^2,t^2-s^2)$ et $f$ est différentiable, montrez que g satisfait l'équation

Si $z=f(x,y)$ a des dérivées partielles secondes continues et $x=r^2+s^2$ et $y=2rs$, trouvez ${\partial }_{r}z$ et ${\partial }_r^{2}z$.

Les dérivées partielles sont des cas particuliers de dérivées directionnelles.

Si $f$ a des dérivées partielles continues autour de $(x,y)$, alors si $\mathbf{u}=(a,b)$

Calculez la dérivée directionnelle de

dans la direction du vecteur unitaire d'angle $\pi /6$ lorsque $x=1,y=2$

Calculez $\nabla f(0,1)$ si$f(x,y)=\sin x+e^{xy}$

Calculez ${\partial }_{(2,5)}f(2,-1)$ si$f(x,y)=x^2{y}^3-4y$

• Si $f(x,y)=x{e}^y$ trouvez le taux d'accroissement de $f$ au point $P(2,0)$ dans la direction de $P$ à $Q(\frac{1}{2},2)$
• Dans quelle direction le taux est-il maximum? Quelle est la valeur?

Supposons que la température a un point $(x,y,z)$ est donnée par

Dans quelle direction la température croît-elle le plus vite à $(1,1,-2)$? Quel est le taux d'accroissement maximal?

Trouvez les équations de la tangente et de la normale au point $(-2,1,-3)$ à l'ellipsoïde

La fonction $f(x,y)$ a un maximum local en $(a,b)$ si

autour de $(a,b)$.

Si $f(x,y)$ est définie autour d'un minimum ou maximum local $(a,b)$, alors

Trouvez le minimum de la fonction

grâce au Théorème de Fermat et vérifiez que c'est un minimum en complétant le carré.

Trouvez les extrema de

Si $f$ est définie et dérivable deux fois autour de $a$ et

alors $f$ atteint un minimum local en $a$.

Si $f$ est définie et les dérivées partielles secondes sont continues autour de $(a,b)$ et que

alors $f$ atteint un minimum local en $(a,b)$.

Les conditions suivantes sont équivalentes:

• Pour chaque $v\in {\mathbb{R}}^2$$$\begin{array}{r}{\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\mathbf{v}}^2}|}_{(x,y)=(a,b)}>0,\end{array}$$
• ${\partial }_x^{2}f(a,b)>0$ et$$\begin{array}{r}\left|\begin{array}{cc}{\partial }_x^{2}f(a,b)& {\partial }_x{\partial }_{y}f(a,b)\\ {\partial }_y{\partial }_{x}f(a,b)& {\partial }_y^{2}f(a,b)\end{array}\right|>0\text{et}{\partial }_x^{2}f(a,b)>0\end{array}$$

Supposons que les dérivées secondes de $f$ soient continues autour d'un point critique $(a,b).$

• Si $\det (\mathrm{Hess}f(a,b))<0$, $(a,b)$ n'est ni un max local, ni un min local
• Si $\det (\mathrm{Hess}f(a,b))>0$ et ${\partial }_x^{2}f(a,b)>0$, $(a,b)$ est un minimum local
• Si $\det (\mathrm{Hess}f(a,b))>0$ et ${\partial }_x^{2}f(a,b)<0$, $(a,b)$ est un maximum local

Trouvez les extrema locaux et les points de selle de

Trouvez et classifiez les points critiques de la fonction

Trouvez la distance la plus courte entre le point $(1,0,-2)$ au plan

Une boîte rectangulaire sans couvercle est faite à partir de 12 ${\text{m}}^2$ de carton. Trouvez le volume maximal d'une telle boîte.

Trouvez la valeur maximale et minimale de