Séance 5

Intégrale sur un chemin
04:20

Question

Comment calculer une intégrale curviligne ou une circulation?

Idea

On revient à une intégrale sur un intervalle avec une paramétrisation.

Trouvez une paramétrisation $r (t) = (x (t), y (t)), a \leq t \leq b$ de la courbe $C$ .
Remplacez $x$ et $y$ par $x (t)$ et $y (t)$
Remplacez l'intégrale par $\int_{a}^{b}$ et $d r = \frac{d r}{d t} d t, d s = \frac{d r}{d t} d t, d x = \frac{d x}{d t} d t, d y = \frac{d y}{d t} d t$

16.2.17
04:20

Exercise

Soit $F$ le champ de vecteur représenté ci-dessous. Quel est le signe de

\int_{C} F \cdot d r

si $C$ est le segment de $(- 3, - 3)$ à $(- 3, 3)$ ?
si $C$ est un cercle centré à l'origine dans le sens antihorloger?

16.2.28
04:20

Exercise

Soit la fonction

F (x, y) = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} i + \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} j .

Devinez le signe de l'intégrale

\int_{C} F (x, y) \cdot d r

où $C$ est la parabole $y = 1 + x^{2}$ entre $(- 1, 2)$ et $(1, 2)$ , et ensuite calculez-là.

Indications

Regardez la résolution d'un exercice similaire fait au cours
Des indications supplémentaires sont données au slide suivant

16.2.28: solution en Python
04:20

Paramétrisation $r (t) = (x t, y 1 + t^{2}), - 1 \leq t \leq 1.$
Calcul de l'intégrand: $\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} int \overset{e}{ˊ} grand F \cdot \frac{d r}{d t} d t$

Changez le code pour obtenir les résultats intermédiaires dont vous avez besoin

16.2.39
04:20

Remark

S'il y a pas assez de travail, ou après la séance, si vous souhaitez faire une intégrale curviligne en plus...

Exercise

Trouvez le travail effectué par la force

F (x, y) = x i + (y + 2) j

lorsque l'on bouge un objet le long de l'arche de la cycloïde

r (t) = (t - sin t) i + (1 - cos t) j, 0 \leq t \leq 2 π

16.2.39: résolution Python
04:20

16.2.52
04:20

Exercise

Le champ magnétique engendré par un courant $I$ dans un long fil est tangent aux cercles qui sont dans un plan perpendiculaire au fil et dont le centre est précisément l'axe du fil. La loi d'Ampère nous donne

\oint_{C} B \cdot d r = μ_{0} I

où

I

est le courant passant par une surface délimitée par

C

. Montrer que la norme du champ magnétique à une distance

r

du fil est donnée par

B = \frac{μ _{0} I}{2 π r}

Théorème fondamental et champs conservatifs
04:20

Theorem

Si $F$ a un potentiel $f$ , alors

\int_{C} F \cdot d r = f (arriv \overset{e}{ˊ} e r (b)) - f (d \overset{e}{ˊ} part r (a)) (F = \nabla f)

En particulier, l'intégrale ne dépend pas du chemin mais seulement des extrémités.

Question

Quand est-ce que le potentiel $f$ existe?

Le potentiel n'existe PAS si

L'intégrale dépend du chemin
$\partial_{x} F_{2} \neq = \partial_{y} F_{1}$

Le potentiel existe si

L'intégrale ne dépend pas du chemin sur un domaine en un morceau
$\partial_{x} F_{2} = \partial_{y} F_{1}$ et le domaine est en un morceau sans trou

16.3.20
04:20

Exercise

Montrez que l'intégrale

\int_{C} sin y d x + (x cos y - sin y) d y

où $C$ est n'importe quel chemin reliant $(2, 0)$ à $(1, π)$ est indépendante du chemin. Ensuite, évaluez cette intégrale.

Remark

Vous pouvez voir l'intégrand comme

F (sin y x cos y - sin y) \cdot d r (d x d y)

16.3.20: solution python
04:20

Conservatif

Vérifier $\partial_{1} F_{2} - \partial_{2} F_{1}$

Solution 1

Après avoir vérifié que c'est conservatif, on intègre sur un chemin

Solution 2

On calcule un potentiel

On évalue et on soustrait le potentiel aux extrémités

Intégrale sur un chemin04:20

Question

Idea

16.2.1704:20

Exercise

16.2.2804:20

Exercise

Indications

16.2.28: solution en Python04:20

16.2.3904:20

Remark

Exercise

16.2.39: résolution Python04:20

16.2.5204:20

Exercise

Théorème fondamental et champs conservatifs04:20

Theorem

Question

16.3.2004:20

Exercise

Remark

16.3.20: solution python04:20

Conservatif

Solution 1

Solution 2

Intégrale sur un chemin
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16.2.17
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16.2.28
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16.2.28: solution en Python
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16.2.39
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16.2.39: résolution Python
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16.2.52
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Théorème fondamental et champs conservatifs
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16.3.20
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16.3.20: solution python
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