Courbes planaires | Surfaces | |
---|---|---|
Paramétrisation | r(t) | r(u,v) |
Plan tangent | dtdr: vecteur directeur | ∂u∂r,∂v∂r: vecteurs directeurs N=∂u∂r×∂v∂r: vecteur normal |
Élément de longueur/surface | ds=dtdrdt | dS=∂u∂r×∂v∂rdA |
Élément de longueur/surface (graphe) | ds=1+(dxdy)2dx | dS=1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2dxdy |
Intégration de champs de vecteurs | dr=dtdrdt (circulation) | dS=NdA (flux)N={∂ur×∂vr(−∂xz,−∂yz,1)cas geˊneˊralgraphe |
Il est possible d'éviter les calculs parfois en utilisant la spécificité de la situation.
Calculez le flux du champ de vecteur
F(x,y,z)=xyi+yzj+zxkoù S est la partie du paraboloïde z=4−x2−y2 qui est au-dessus du carré 0≤x≤1, 0≤y≤1.
Pour l'examen, vous devez aussi pouvoir calculer un flux dans le cas général, pas seulement celui d'un graphe.
Vérifiez que le théorème de Stokes est valable pour le champ de vecteur
F(x,y,z)=−2yzi+yj+3xkoù S est la partie du paraboloïde z=5−x2−y2 qui est au-dessus du plan z=1, orientée vers le haut.
Vérifiez que le théorème de la divergence est valable pour le champ de vecteur
F(x,y,z)=x2i−yj+zkoù E est le cylindre donné par les équations y2+z2≤9, 0≤x≤2.
Il est possible d'éviter tout calcul pour les vecteurs normaux. Réfléchissez.