Champs de vecteurs

Chapitre 3

Champs de vecteurs
05:37

Definition

Un champ de vecteur est une fonction

F : D \subset R^{2} \to R^{2}

On a une définition analogue sur $R^{3}$

Représentation d'un champ de vecteur à 2 dimensions
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Example

Représentez le champ de vecteur $F (x, y) = - y i + x j$ .

Représentation d'un champ de vecteur à 3 dimensions
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Example

Représentez le champ de vecteur $F (x, y, z) = z k$ .

Exemple: loi de la gravitation
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Example

∥ F ∥ = \frac{m MG}{r ^{2}} ⟺ F (x) = - \frac{m MG}{∥ x ∥ ^{3}} x

Exemple: loi de Coulomb
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Example

F (x) = \frac{εqQ}{∥ x ∥ ^{3}} x

Remark

Champ électrique: force par unité de charge

E (x) = \frac{εQ}{∥ x ∥ ^{3}} x

Champ gradients
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\nabla f (x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y} j + \frac{\partial f}{\partial z} k

Question

Quand un champ de vecteur est-il un champ gradient?

Champ gradient: exemple
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Example

Trouvez le champ gradient de $f (x, y) = x^{2} y - y^{3}$ . Esquissez champ gradient et les courbes de niveau de $f$ . Comment sont-ils reliés?

Conservation de l'énergie
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Theorem

Si un point $x$ est soumis à une force $F = \nabla f$ , alors la quantité

E (t) = \frac{1}{2} m \frac{d x}{d t}^{2} - f (x (t))

est constante.

Intégrales curvilignes
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L'intégrale curviligne représente l'aire algébrique du ruban défini par le graphe et une courbe dans le domaine. C'est une notion indispensable pour définir le travail.

Intégrale curviligne: définition
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Definition

\int_{C} f (x, y) d s = n \to + \infty lim i \sum f (x_{i}, y_{i}) Δ s_{i}

d s = d x^{2} + d y^{2} = (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t

Proposition

\int_{C} f (x, y) d s = \int_{a}^{b} f (r (t)) \frac{d r}{d t} d t

Exemple: intégrale sur un demi-cercle
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\int_{C} f (x, y) d s = \int_{a}^{b} f (r (t) x (t), y (t)) ∥ \frac{d r}{d t} ∥ (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t

Example

Calculez

\int_{C} 2 + x^{2} y d s

où $C$ est la partie supérieure du cercle unité.

Autres intégrales curvilignes
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d s = \frac{d r}{d t} d t d x = \frac{d x}{d t} d t d y = \frac{d y}{d t} d t

Example

\int_{C} y^{2} d x + x d y

où $C$ est la parabole $x = 4 - y^{2}$ de $(- 5, - 3)$ à $(0, 2)$ .

Intégrale curviligne de champs de vecteurs (circulation)
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Definition

d r = T d s

oû $T$ est le vecteur unitaire tangent à $C$ .

Definition

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot \frac{d r}{d t} d t

Cette intégrale est souvent appelée circulation.

Travail d'une force
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Definition

W = \int_{C} F \cdot d r

Example

Trouvez le travail d'une force par le champ $F (x, y) = x^{2} i - x y j$ le long du quart de cercle $r (t) = cos t i + sin t j$ , $0 \leq t \leq π /2$ .

Exemple d'intégrale curviligne de champs de vecteurs
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Example

\int_{C} F \cdot d r, F (x, y, z) = x y i + yz j + z x k

où

C

est paramétré par

(x, y, t) = (t, t^{2}, t^{3})

pour

0 \leq t \leq 1

Théorème fondamental pour les intégrales curvilignes
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Recall

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

Theorem

\int_{C} \nabla f \cdot d r = f (r (b)) - f (r (a))

L'intégrale ne dépend pas du chemin $C$ mais seulement de ses extrémités
La circulation d'un champ gradient sur un chemin fermé vaut $0$

Calcul du travail d'un champ conservateur
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Example

Calculez le travail du champ

F (x) = - \frac{m MG}{∥ x ∥ ^{3}} x

pour bouger une particule de masse $m$ du point $(3, 4, 12)$ au point $(2, 2, 0)$ .

On vérifie que le potentiel est donné par

f (x, y, z) = \frac{m MG}{x ^{2} + y ^{2} + z ^{2}}

Existence d'un potentiel
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Question

Quels champs de vecteurs sont conservatifs? (i.e. s'écrivent $F = \nabla f$ )

Theorem

Soit $F$ un champ de vecteur sur une région ouverte et connexe $D$ . Si l'intégrale $\int_{C} F \cdot d r$ ne dépend pas du chemin $C$ , alors $F = \nabla f$ .

f (x, y) = def \int_{(a, b)}^{(x, y)} F \cdot d r

Existence d'un potentiel
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Question

Quels champs de vecteurs sont conservatifs? (i.e. s'écrivent $F = \nabla f$ )

Theorem

Soit $F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j$ un champ de vecteur conservatif.

\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

Conséquence du théorème de Green (cf. plus tard): la réciproque est vraie sur des régions simplement connexes (sans trous ni poignées).

Exemple: conservatifs?
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Example

Déterminez si les champs de vecteurs

$F (x, y) = (x - y) i + (x - 2) j$
$F (x, y) = (3 + 2 x y) i + (x^{2} - 3 y^{2}) j$

Exemple: calcul de potentiel
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Example

Trouvez une fonction $f$ telle que

\nabla f (x, y) = F (x, y) (3 + 2 x y) i + (x^{2} - 3 y^{2}) j .

Ensuite, évaluez l'intégrale $\int_{C} F \cdot d r$ , où

r (t) = e^{t} sin t i + e^{t} cos t j, 0 \leq t \leq π

Potentiel à 3 dimensions
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Example

Trouvez $f$ tel que

\nabla f = y^{2} i + (2 x y + e^{3 z}) j + 3 y e^{3 z} k

Circulation sur un chemin fermé
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\oint_{C} F \cdot d r : circulation sur une courbe C ferm \overset{e}{ˊ} e

Remark

Si $F$ est conservatif ( $F = \nabla f$ ), alors

\oint_{C} F \cdot d r = 0.

Électrostatique: la circulation du champ électrique sur un chemin fermé est nulle.
La circulation du champ magnétique est proportionnelle au courant
Plus tard: rotationnel = densité de circulation

Théorème de Green: introduction
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Recall

int \overset{e}{ˊ} rieur \int_{a}^{b} f^{'} (x) local d x = bord f (b) - f (a)

Recall

F (x, y) = \nabla f (x, y)

, alors

\partial_{x} F_{2} = \partial_{y} F_{1}

par symétrie des dérivées secondes.

Sur une courbe

C

fermée

\oint_{C} F \cdot d r = 0

Un exemple du théorème de Green
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Proposition (Cas particulier du théorème de Green)

\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{[a, b] \times [c, d]} \partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1} d A

où $C$ est le contour de $[a, b] \times [c, d]$ parcouru dans le sens anti-horloger.

Remark

La notation $\oint$ est une intégrale normale, elle souhaite simplement insister que celle-ci se fait sur une courbe fermée dans le sens anti-horloger.

Green's Theorem
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Theorem (Green)

\oint_{C} F \cdot r = \iint_{D} \partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1} d A

En particulier, si

F = (P, Q)

\oint_{C} P d x + Q d y = \iint \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} d A .

Théorème de Green: exemple
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Example

Évaluez l'intégrale

\oint_{C} x^{4} d x + x y d y

où $C$ est le triangle dont les sommets sont $(0, 0)$ , $(1, 0)$ et $(0, 1)$

Théorème de Green: exemple
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Example

Évaluez l'intégrale

\oint_{C} (3 y - e^{s i n x}) d x + (7 x + y^{4} + 1) d y

où $C$ est le cercle d'équation $x^{2} + y^{2} = 9$ .

Calcul d'aire
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Recall

\oint_{C} F \cdot r = \iint_{D} \partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1} d A

Si $F = \partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1} = 1$ , alors

\oint_{C} F \cdot r = aire (D)

Area calculation
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Example

Find the area enclosed by the ellipse

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

Théorème de Green sur une région non simple
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Example

Évaluez

\oint_{C} y^{2} d x + 3 x y d y,

où $C$ est la frontière de la région $D$ telle que $y \geq 0$ et $1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4$

Nabla ou del
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Definition

\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial}{\partial z}

Example

$\nabla f$ représente le gradient

Rotationnel
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Definition

\nabla \times F = \partial_{2} F_{3} - \partial_{3} F_{2} \partial_{3} F_{1} - \partial_{1} F_{3} \partial_{1} F_{2} - \partial_{2} F_{1}

Rotationnel: exemple
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Example

F (x, y, z) = x z i + x yz j - y^{2} k

Rotationnel du gradient
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Theorem

\nabla \times (\nabla f) = 0

Corollary

Si $F$ est conservatif, alors $\nabla \times F = 0$ .

Exemple: champ non conservatif
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Example

Montrez que le champ de vecteur

F (x, y, z) = x z i + x yz j - y^{2} k

n'est pas conservatif.

Champs conservatifs
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Theorem

Si $F$ est conservatif, alors $\nabla \times F = 0 .$
Si $\nabla \times F = 0$ et le domaine n'a pas de trou, alors $F$ est conservatif.

Example

Montrez que

F (x, y, z) = y^{2} z^{3} i + 2 x y z^{3} j + 3 x y^{2} z^{2} k

est conservatif et trouvez un potentiel

Divergence
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Definition

\nabla \cdot F = \partial_{x} F_{1} + \partial_{y} F_{2} + \partial_{z} F_{3}

Divergence du rotationnel
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Theorem

\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0

Exemple
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Example

Montrez que le champ de vecteur

F (x, y, z) = x z i + x yz j - y^{2} k

ne peut être écrit comme un rotationnel.

Laplacien
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Definition

\nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla

\nabla^{2} f = 0 (\overset{ˊ}{E} quation de Laplace)

Le théorème de Green revisité
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Theorem

\oint_{C} F \cdot d r = \iint_{D} \nabla \times F \cdot k d A

\oint_{C} F \cdot n d s = \iint_{D} \nabla \cdot F (x, y) d A

Champs de vecteurs05:37

Definition

Représentation d'un champ de vecteur à 2 dimensions05:37

Example

Représentation d'un champ de vecteur à 3 dimensions05:37

Example

Exemple: loi de la gravitation05:37

Example

Exemple: loi de Coulomb05:37

Example

Remark

Champ gradients05:37

Question

Champ gradient: exemple05:37

Example

Conservation de l'énergie05:37

Theorem

Intégrales curvilignes05:37

Intégrale curviligne: définition05:37

Definition

Proposition

Exemple: intégrale sur un demi-cercle05:37

Example

Autres intégrales curvilignes05:37

Example

Intégrale curviligne de champs de vecteurs (circulation)05:37

Definition

Definition

Travail d'une force05:37

Definition

Example

Exemple d'intégrale curviligne de champs de vecteurs05:37

Example

Théorème fondamental pour les intégrales curvilignes05:37

Recall

Theorem

Calcul du travail d'un champ conservateur05:37

Example

Existence d'un potentiel05:37

Question

Theorem

Existence d'un potentiel05:37

Question

Theorem

Exemple: conservatifs?05:37

Example

Exemple: calcul de potentiel05:37

Example

Potentiel à 3 dimensions05:37

Example

Circulation sur un chemin fermé05:37

Remark

Théorème de Green: introduction05:37

Recall

Recall

Un exemple du théorème de Green05:37

Proposition (Cas particulier du théorème de Green)

Remark

Green's Theorem05:37

Theorem (Green)

Théorème de Green: exemple05:37

Example

Théorème de Green: exemple05:37

Example

Calcul d'aire05:37

Recall

Area calculation05:37

Example

Théorème de Green sur une région non simple05:37

Example

Nabla ou del05:37

Definition

Example

Rotationnel05:37

Definition

Rotationnel: exemple05:37

Example

Rotationnel du gradient05:37

Theorem

Corollary

Champs de vecteurs
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Représentation d'un champ de vecteur à 2 dimensions
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Représentation d'un champ de vecteur à 3 dimensions
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Exemple: loi de la gravitation
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Exemple: loi de Coulomb
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Champ gradients
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Champ gradient: exemple
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Conservation de l'énergie
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Intégrales curvilignes
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Intégrale curviligne: définition
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Exemple: intégrale sur un demi-cercle
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Autres intégrales curvilignes
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Intégrale curviligne de champs de vecteurs (circulation)
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Travail d'une force
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Exemple d'intégrale curviligne de champs de vecteurs
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Théorème fondamental pour les intégrales curvilignes
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Calcul du travail d'un champ conservateur
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Existence d'un potentiel
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Existence d'un potentiel
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Exemple: conservatifs?
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Exemple: calcul de potentiel
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Potentiel à 3 dimensions
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Circulation sur un chemin fermé
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Théorème de Green: introduction
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Un exemple du théorème de Green
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Green's Theorem
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Théorème de Green: exemple
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Théorème de Green: exemple
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Calcul d'aire
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Area calculation
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Théorème de Green sur une région non simple
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Nabla ou del
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Rotationnel
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Rotationnel: exemple
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Rotationnel du gradient
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Exemple: champ non conservatif
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Champs conservatifs
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Divergence
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Divergence du rotationnel
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Exemple
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Laplacien
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Le théorème de Green revisité
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