Champs de vecteurs - partie II

Chapitre 3

Résumé de l'intégration sur les courbes et surfaces
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	Courbes planaires	Surfaces
Paramétrisation	$r (t)$	$r (u, v)$
Plan tangent	$\frac{d r}{d t}$ : vecteur directeur	$\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v}$ : vecteurs directeurs $\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}$ : vecteur normal
Élément de longueur/surface	$d s = \frac{d r}{d t} d t$	$d S = \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} d A$
Élément de longueur/surface (graphe)	$d s = 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x$	$d S = 1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} d x d y$
Intégration de champs de vecteurs	$d r = \frac{d r}{d t} d t$ (circulation)	$d S = \frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v} d A$ (flux)

Paramétrisation de surfaces et élément d'aire
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Si une surface $S$ est paramétrée par

r (u, v) = x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k, (u, v) \in D

alors

d S = ∥ \partial_{u} r \times \partial_{v} r ∥ d u d v

Exemple: aire de la sphère
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Example

Trouvez la surface d'une sphère de rayon $a$ .

Recall (Coordonnées sphériques)

x y z = a sin ϕ cos θ = a sin ϕ sin θ = a cos ϕ

Paramétrisation de graphes
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Si la surface $S$ est un graphe, alors une paramétrisation est donnée par

r (x, y) = x i + y j + z (x, y) k .

On vérifie par calculs que

d S = ∥ \partial_{u} r \times \partial_{v} r ∥ d u d v = 1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} d x d y

Il est utile de pouvoir utiliser cette formule directement plutôt que de la recalculer.

Aire d'un graphe
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Recall

d S = 1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} d x d y

Example

Trouvez l'aire de la partie du paraboloïde $z = x^{2} + y^{2}$ qui se trouve sous le plan $z = 9$

Intégration sur une surface
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Example

\iint_{S} x^{2} d S, S : sph \overset{e}{ˋ} re unit \overset{e}{ˊ}

Recall

x y z = r sin ϕ cos θ = r sin ϕ sin θ = r cos ϕ

d S r = ∥ \partial_{u} r \times \partial_{v} r ∥ d u d v = 1

Intégration sur un graphe
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Example

\iint_{S} y d S

où $S$ est la surface

z = x + y^{2}, 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2

Recall

d S = 1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^{2} + (\frac{\partial z}{\partial y})^{2} d x d y

Surfaces orientées
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L'intégrale de champ de vecteurs ne peut se faire que sur une surface orientée.

Definition (Orientation)

Une orientation est la donnée d'un champ continu de vecteurs normaux unitaire

Orientation d'un graphe
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Recall

N = \partial_{u} r \times \partial_{v} r

Pour un graphe $z = f (x, y)$ nous avons

N = - \frac{\partial f}{\partial x} i - \frac{\partial f}{\partial y} j + k

Flux
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Definition (Flux)

\iint_{S} F \cdot d S n d S

\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{D} F \cdot (\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}) d A

En particulier, pour un graphe:

\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{D} F \cdot (- \frac{\partial z}{\partial x} i - \frac{\partial z}{\partial y} j + k) d x d y

Flux: exemple
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Example

Calculez le flux de $F (x, y, z) = z i + y j + x k$ à travers la sphère unité

Recall

\iint_{S} F \cdot d S = \iint_{D} F \cdot (\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}) d A

Flux à travers un graphe
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Recall

d S = - \frac{\partial z}{\partial x} i - \frac{\partial z}{\partial y} j + k

Example

\iint_{S} F \cdot d S, F (x, y, z) = def y i + x j + z k,

$S$ entre $z = 1 - x^{2} - y^{2}$ et $z = 0$

Orientation induite sur le contour
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Théorème de Stokes
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Theorem

Si $S$ est gentille et orientée et sa frontière $C$ est aussi gentille avec l'orientation induite,

\int_{C} F \cdot d r = \iint_{S} \nabla \times F \cdot d S

Si $S$ est un rectangle, c'est le théorème de Green.

Si $S_{1}, S_{2}$ sont deux surfaces avec le même contour, alors

\iint_{S_{1}} \nabla \times F \cdot d S = \iint_{S_{2}} \nabla \times F \cdot d S

Stokes: exemple
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Example

\int_{C} F \cdot d r, F (x, y, z) = - y^{2} i + x j + z^{2} k,

où $C$ est l'intersection entre le plan $y + z = 2$ et le cylindre $x^{2} + y^{2} = 1$ , orienté dans le sens anti-horloger vu par le dessus.

Stokes: exemple
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Example

\iint_{S} \nabla \times F \cdot d S, F (x, y, z) = x z i + yz j + x y k

où $S$ est la partie de la sphère $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ contenue dans le cylindre $x^{2} + y^{2} = 1$ et au-dessus du plan $x y$ .

Interprétation du rotationnel
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masse charge circulation = \iint_{S} densit \overset{e}{ˊ} de masse ρ (x, y, z) d S = \iint_{S} densit \overset{e}{ˊ} de charge σ (x, y, z) d S = \iint_{S} ? \nabla \times F \cdot n d S

Remark

Le rotationnel représente la densité de circulation

Théorème de la divergence
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Theorem (Divergence (Ostrogradsky))

Soit une région simple $E$ dont la surface $S$ est munie de l'orientation extérieure.

\iint_{S} F \cdot d S = ∭_{E} \nabla \cdot F d V

Preuve lorsque $E = [a_{1}, b_{1}] \times [a_{2}, b_{2}] \times [a_{3}, b_{3}]$

Remark

Le théorème de la divergence généralise le théorème fondamental de l'analyse

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

Exemple: calcul de flux
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Exercise

Trouvez le flux du champ $F (x, y, z) = z i + y j + x k$ à travers la sphère unité.

Exemple: calcul de flux
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Example

F (x, y, z) = x y i + (y^{2} + e^{x z^{2}}) j + sin (x y) k

où

S

est la surface de la région

E

délimitée par

z = 1 - x^{2}

z = 0

y = 0

y + z = 2

Théorème de Gauss
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Theorem

Soit le champ donné par

E = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{Q}{∥ x ∥ ^{3}} x

Montrez que le flux ne dépend pas du choix de surface $S$ contenant l'origine et que

\iint_{S} E \cdot d S = \frac{Q}{ε 0}

Remark

Ce théorème est également vrai pour le champ gravitationnel classique.

Interprétation de la divergence
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masse charge flux = ∭_{V} densit \overset{e}{ˊ} de masse ρ (x, y, z) d V = ∭_{V} densit \overset{e}{ˊ} de charge σ (x, y, z) d V = ∭_{V} ? \nabla \cdot F (x, y, z) d V

Rotationnel du rotationnel
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Proposition

\nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^{2} A

Application: Maxwell dans le vide
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Exercise

Voici les équations de Maxwell.

\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε _{0}}, \nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}, \nabla \cdot B = 0, \nabla \times B = μ_{0} J + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t},

En prenant le rotationnel des équations rotationnelles, montrez que dans le vide, $E$ et $B$ vérifient l'équations d'une onde se déplaçant à la vitesse de la lumière quel que soit le repère.

Infos utiles:

\frac{1}{v ^{2}} \frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} - \nabla^{2} u = 0 \overset{ˊ}{E} quation d’onde

Résumé de l'intégration sur les courbes et surfaces05:39

Paramétrisation de surfaces et élément d'aire05:39

Exemple: aire de la sphère05:39

Example

Recall (Coordonnées sphériques)

Paramétrisation de graphes05:39

Aire d'un graphe05:39

Recall

Example

Intégration sur une surface05:39

Example

Recall

Intégration sur un graphe05:39

Example

Recall

Surfaces orientées05:39

Definition (Orientation)

Orientation d'un graphe05:39

Recall

Flux05:39

Definition (Flux)

Flux: exemple05:39

Example

Recall

Flux à travers un graphe05:39

Recall

Example

Orientation induite sur le contour05:39

Théorème de Stokes05:39

Theorem

Stokes: exemple05:39

Example

Stokes: exemple05:39

Example

Interprétation du rotationnel05:39

Remark

Théorème de la divergence05:39

Theorem (Divergence (Ostrogradsky))

Remark

Exemple: calcul de flux05:39

Exercise

Exemple: calcul de flux05:39

Example

Théorème de Gauss05:39

Theorem

Remark

Interprétation de la divergence05:39

Rotationnel du rotationnel05:39

Proposition

Application: Maxwell dans le vide05:39

Exercise

Résumé de l'intégration sur les courbes et surfaces
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Paramétrisation de surfaces et élément d'aire
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Exemple: aire de la sphère
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Paramétrisation de graphes
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Aire d'un graphe
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Intégration sur une surface
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Intégration sur un graphe
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Surfaces orientées
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Orientation d'un graphe
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Flux
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Flux: exemple
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Flux à travers un graphe
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Orientation induite sur le contour
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Théorème de Stokes
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Stokes: exemple
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Stokes: exemple
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Interprétation du rotationnel
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Théorème de la divergence
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Exemple: calcul de flux
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Exemple: calcul de flux
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Théorème de Gauss
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Interprétation de la divergence
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Rotationnel du rotationnel
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Application: Maxwell dans le vide
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