Préparation à l'examen

Chapitre 4

Exercice type I: optimisation
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Partie problème: on vous donnera la réponse finale
Résoudre le système $\nabla f = 0$
Critère de la dérivée seconde $(\partial_{xx} f \partial_{y x} f \partial_{x y} f \partial_{yy} f) {d \overset{e}{ˊ} terminant positif, \partial_{xx} f > 0 : minimum d \overset{e}{ˊ} terminant positif, \partial_{xx} f < 0 : maximum$
Réponse à la question

Suggestion

Exercices 14.7, 41 à 60

Optimisation
05:29

Exercise

Considérons une boîte rectangulaire dont les dimensions sont $x, y, z > 0$ .

Sachant que la diagonale de la boîte doit être $L$ , montrez que le volume peut être donné par $V (x, y) = x y L^{2} - x^{2} - y^{2}$
Quelles dimensions donnent un volume maximal?
En utilisant le critère de la dérivée seconde, montrez que la valeur obtenue est bien un maximum

Optimisation: solution via python
05:29

Exercice type 2: champs gradients et intégrales curvilignes
05:29

On montre par calcul que $\nabla \times F = 0$
"Puisque $\nabla \times F = 0$ et que le domaine est simplement connexe, on en conclut que $F$ est conservatif".
Calcul du potentiel $f$
Calcul d'une circulation par le théorème fondamental: $f (arriv \overset{e}{ˊ} e) - f (d \overset{e}{ˊ} part)$

Remark

Focalisez vous sur le cas tridimensionel. Si vous avez un champ bidimensionel, complétez par $0$ pour la composante $z$ .

Suggestion

Exercices 16.3

Exercice 16.3.17
05:29

Exercise

Considérons le champ de vecteurs

F (x, y, z) = yz e^{x z} i + e^{x z} j + x y e^{x z} k

Montrez que $F$ est conservatif
Trouvez $f$ tel que $\nabla f = F$
Évaluez l'intégrale $\int_{C} F \cdot d r, r (t) = (t^{2} + 1) i + (t^{2} - 1) j + (t^{2} - 2 t) k, 0 \leq t \leq 2$

Exercice 16.3.17
05:29

Exercice type 3: analyse vectorielle
05:29

Vous devez pouvoir calculez des intégrales de fonctions, et de champs de vecteurs sur des courbes, surfaces et volumes. Directement ou par les théorèmes de Stokes ou divergence. Vous devez si besoin pouvoir calculer en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques.

Remark

Green est un cas particulier de Stokes

Suggestion de préparation

Exercices des sections 16.8 et 16.9

Les exercices qui vous font vérifier Stokes/divergence sont très utiles.

Exercice 16.8.15
05:29

Exercise

Vérifiez que le théorème de Stokes est vrai pour le champ de vecteur

F (x, y, z) = y i + z j + x k

et l'hémisphère $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ , $y \geq 0$ orienté dans la direction des $y$ positifs.

Remark

Les coordonnées sphériques et le vecteur normal vous seraient données pour cet exercice

Valeur de l'intégrale
05:29

Exercice type I: optimisation05:29

Suggestion

Optimisation05:29

Exercise

Optimisation: solution via python05:29

Exercice type 2: champs gradients et intégrales curvilignes05:29

Remark

Suggestion

Exercice 16.3.1705:29

Exercise

Exercice 16.3.1705:29

Exercice type 3: analyse vectorielle05:29

Remark

Suggestion de préparation

Exercice 16.8.1505:29

Exercise

Remark

Valeur de l'intégrale05:29

Exercice type I: optimisation
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Optimisation
05:29

Optimisation: solution via python
05:29

Exercice type 2: champs gradients et intégrales curvilignes
05:29

Exercice 16.3.17
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Exercice 16.3.17
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Exercice type 3: analyse vectorielle
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Exercice 16.8.15
05:29

Valeur de l'intégrale
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