Séance 3

14.5.34
05:24

Question

En dérivant implicitement, trouvez $\partial_{x} z, \partial_{y} z$ , où

yz + x ln y = z^{2}

14.5.34: solution Python
05:24

Dérivez l'équation $yz + x ln y - z^{2} = 0$ par rapport à $x$ :
Isolez $\partial_{x} z$

Dérivez l'équation $yz + x ln y - z^{2} = 0$ par rapport à $y$ :
Isolez $\partial_{y} z$

14.6.54
05:24

Question

A quel point sur l'ellipsoïde $x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} = 1$ le plan tangent est-il parallèle au plan $x + 2 y + z = 1$ .

Voyez l'ellipsoïde comme une courbe de niveau de $F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} .$
Rappelez-vous que le gradient est perpendiculaire aux courbes de niveau
Deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont parallèles

14.6.54: Solution
05:24

On cherche un point où la normale au plan tangent est parallèle à $(1, 2, 1)$
Soit $F (x, y, z) = def x^{2} + y^{2} + 2 z^{2}$ . Puisque l'ellipsoïde la courbe de niveau $1$ , sa normale a $\nabla F$ pour vecteur directeur

On résoud $\nabla F = λ (1, 2, 1)$
On s'assure que ce point est sur l'ellipse en vérifiant qu'on est sur la bonne courbe de niveau

14.7.43
05:24

Exercise

Trouvez les points du cône $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ qui sont les plus proches du point $(4, 2, 0)$

Indication: il suffit de minimiser

distance^{2} = Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}

14.7.43: Solution avec Python
05:24

Trouvez la fonction à minimiser
Utilisez la contrainte pour obtenir une fonction en $(x, y)$
Calcul du gradient

Remark

N'oubliez pas qu'il y a aussi la racine négative $z = - x^{2} + y^{2}$ . Étant donné que notre point est dans le plan $x y$ ,

Trouvez le(s) point(s) critique(s) $\nabla f = 0$
Ce point-là ne peut être que correspondre à un minimum. Pourquoi?
Trouvez les coordonnées des deux points.

15.2.35
05:24

Exercise

Trouvez le volume (en soustrayant deux volumes) du solide délimité par les cylindres paraboliques $y = 1 - x^{2}$ , $y = x^{2} - 1$ et les plans $x + y + z = 2$ et $2 x + 2 y - z + 10 = 0.$

Indications

Le but est de calculer une intégrale du type

\iint_{D} f (x, y) d A

Vérifiez que vous voyez bien ce qu'est un cylindre parabolique
Quelles sont les équations qui déterminent $D$ ?
Est-il plus facile d'intégrer verticalement ou horizontalement d'abord?

15.2.35: solution avec Python
05:24

Les cylindres paraboliques déterminent le domaine. Vue d'en haut:
En résolvant pour trouvez l'intersection des deux paraboles, on trouve:
On en déduit qu'on intègre sur $\iint_{D} f (x, y) d A = \int_{x = - 1}^{x = 1} \int_{y = x^{2} - 1}^{y = 1 - x^{2}} f (x, y) d y d x$

Les équations des deux plans peuvent s'écrire $z = 2 - x - y z = 2 x + 2 y + 10.$
Le deuxième plan est clairement au dessus, donc l'intégrale recherchée est $\int_{x = - 1}^{x = 1} \int_{y = x^{2} - 1}^{y = 1 - x^{2}} 2 x + 2 y + 10 - (2 - x - y) d y d x$
Intégrale intérieure:
Intégrale extérieure:

14.5.3405:24

Question

14.5.34: solution Python05:24

14.6.5405:24

Question

14.6.54: Solution05:24

14.7.4305:24

Exercise

14.7.43: Solution avec Python05:24

Remark

15.2.3505:24

Exercise

Indications

15.2.35: solution avec Python05:24

14.5.34
05:24

14.5.34: solution Python
05:24

14.6.54
05:24

14.6.54: Solution
05:24

14.7.43
05:24

14.7.43: Solution avec Python
05:24

15.2.35
05:24

15.2.35: solution avec Python
05:24