Séance 6

16.4.18
05:39

Recall (Théorème de Green)

\oint_{C} F \cdot (d x d y) d r = \iint_{D} (\partial_{x} F_{2} - \partial_{y} F_{1}) d A

Comparez le membre de droite à la condition nécéssaire d'existence de potentiel et au rotationnel.

Exercise

Une particule part de l'origine, se déplace le long de l'axe des $x$ jusque $(5, 0)$ , et ensuite le long du demi-cercle $x^{2} + y^{2} = 25$ , $x, y \geq 0$ jusqu'au point $(0, 5)$ et redescend vers l'origine via l'axe $y$ . À l'aide du théorème de Green, trouvez le travail effectué sur la particule par le champ

F (x, y) = (sin x sin y + x y^{2} + \frac{1}{3} x^{3})

16.4.18: correction
05:39

Nabla, divergence, rotationnel
05:39

Definition (Rotationnel)

nabla \nabla \times pr. vect. F

\nabla \times F = \partial_{2} F_{3} - \partial_{3} F_{2} \partial_{3} F_{1} - \partial_{1} F_{3} \partial_{1} F_{2} - \partial_{2} F_{1}

Definition (Divergence)

nabla \nabla \cdot pr. sc. F

\nabla \cdot F = \frac{\partial F _{1}}{\partial x} + \frac{\partial F _{2}}{\partial y} + \frac{\partial F _{3}}{\partial z}

Interprétation de la divergence et du rotationnel
05:39

Divergence

Tendance locale des lignes de champs à sortir autour d'un point
Densité de flux

\nabla \cdot F (x, y, z) \approx \frac{\iint _{S} F \cdot n d S}{vol V}

où

V

est un petit volume autour de

(x, y, z)

dont la frontière est

z

Rotationnel

Tendance locale des lignes de champs à tourner autour d'un point
Vecteur dont les composantes indiquent la densité de circulation dans le plan normal.

(\nabla \times F (x, y, z)) \cdot n \approx \frac{1}{aire A} \int_{C} F \cdot r

où

A

est une petite surface perpendiculaire à

n

, autour de

(x, y, z)

dont la frontière est

C

16.5.{9, 10, 11}
05:39

16.5.{13, 17}
05:39

Recall

F = \nabla V ⟹ simplement connexe ⟸ \nabla \times F = 0 F = \nabla \times A ⟹ simplement connexe ⟸ \nabla \cdot F = 0

Exercise

Déterminer si le champ de vecteur est conservatif. Si oui, trouvez un potentiel

$F (x, y, z) = y^{2} z^{3} i + 2 x y z^{3} j + 3 x y^{2} z^{2} k$
$F (x, y, z) = e^{yz} i + x z e^{yz} j + x y e^{yz} k$

16.5.{13, 17}: solution python
05:39

16.5.19: Potentiel vecteur
05:39

fonction ⟶ \nabla champ ⟶ \nabla \times champ ⟶ \nabla \cdot fonction

Recall

F = \nabla V ⟹ simplement connexe ⟸ \nabla \times F = 0 F = \nabla \times A ⟹ simplement connexe ⟸ \nabla \cdot F = 0

les conditions $⟸$ ne sont vraies que si le domaine est en un morceau et sans trous.
Regardez les équations de Maxwell!

Exercise

Existe-t-il un champ de vecteur $G : R^{3} \to R^{3}$ tel que

\nabla \times G = x sin y cos y z - x y

16.5.19: solution python
05:39

16.4.1805:39

Recall (Théorème de Green)

Exercise

16.4.18: correction05:39

Nabla, divergence, rotationnel05:39

Definition (Rotationnel)

Definition (Divergence)

Interprétation de la divergence et du rotationnel05:39

16.5.{9, 10, 11}05:39

16.5.{13, 17}05:39

Recall

Exercise

16.5.{13, 17}: solution python05:39

16.5.19: Potentiel vecteur05:39

Recall

Exercise

16.5.19: solution python05:39

16.4.18
05:39

16.4.18: correction
05:39

Nabla, divergence, rotationnel
05:39

Interprétation de la divergence et du rotationnel
05:39

16.5.{9, 10, 11}
05:39

16.5.{13, 17}
05:39

16.5.{13, 17}: solution python
05:39

16.5.19: Potentiel vecteur
05:39

16.5.19: solution python
05:39