Séance 7
Résumé de l'intégration sur les courbes et surfaces05:35
| Courbes planaires | Surfaces | |
|---|---|---|
| Paramétrisation | r(t) | r(u,v) |
| Plan tangent | dtdr: vecteur directeur | ∂u∂r,∂v∂r: vecteurs directeurs N=∂u∂r×∂v∂r: vecteur normal |
| Élément de longueur/surface | ds=dtdrdt | dS=∂u∂r×∂v∂rdA |
| Élément de longueur/surface (graphe) | ds=1+(dxdy)2dx | dS=1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2dxdy |
| Intégration de champs de vecteurs | dr=dtdrdt (circulation) | dS=NdA (flux)N={∂ur×∂vr(−∂xz,−∂yz,1)cas geˊneˊralgraphe |
Remark
Il est possible d'éviter les calculs parfois en utilisant la spécificité de la situation.
16.7.23: Flux05:35
Recall (Flux à travers un graphe)
∬SF⋅NdAdS,N=−∂xz−∂yz1
Exercise
Calculez le flux du champ de vecteur
F(x,y,z)=xyi+yzj+zxkoù S est la partie du paraboloïde z=4−x2−y2 qui est au-dessus du carré 0≤x≤1, 0≤y≤1.
Remark
Pour l'examen, vous devez aussi pouvoir calculer un flux dans le cas général, pas seulement celui d'un graphe.
16.7.23: solution05:35
16.8.18: Théorème de Stokes05:35
Recall (Théorème de Stokes)
∬S∇×F⋅dS=∮CF⋅dr
Exercise
Vérifiez que le théorème de Stokes est valable pour le champ de vecteur
F(x,y,z)=−2yzi+yj+3xkoù S est la partie du paraboloïde z=5−x2−y2 qui est au-dessus du plan z=1, orientée vers le haut.
16.8.18: solution05:35
Flux du rotationnel
Circulation
16.9.4: Théorème de la divergence05:35
Recall (Théorème de la divergence)
∭E∇⋅FdV=∬SF⋅dS
Exercise
Vérifiez que le théorème de la divergence est valable pour le champ de vecteur
F(x,y,z)=x2i−yj+zkoù E est le cylindre donné par les équations y2+z2≤9, 0≤x≤2.
Remark
Il est possible d'éviter tout calcul pour les vecteurs normaux. Réfléchissez.
16.9.4: solution05:35
Calcul de ∭E∇⋅FdV
Calcul de ∬SF⋅dS