Dérivées partielles

Chapitre 1

Informations pratiques
04:25

Informations

Slides: https://nguyen.me.uk/teaching
Exercices: GUERRIERI Rolando (R5G), JONAS-SZATANSKI Jacek (JSZ), NGUYEN Khoi (NGY)

Remark

Les séances d'exercices seront également présentes sur mon site. Nous nous baserons sur le calculus, mais je ferai en sorte que tout soit compris dans les slides.

Motivations
04:25

Deux interactions dominent à notre échelle: la gravitation et l'électromagnétisme.

Proposition (Équations de Maxwell)

\nabla \cdot E \nabla \cdot B \nabla \times E \nabla \times B = \frac{ρ}{ε _{0}} = 0 = - \partial_{t} B = μ_{0} (J + ε_{0} \partial_{t} E)

Lois en $1/ r^{2}$
Unification électricité/magnétisme/lumière
Nécéssité d'unir l'espace et le temps (première théorie relativiste)

Objectifs du cours
04:25

Étendre la notion de dérivée à plusieurs variables
Étendre la notion d'intégrale à plusieurs variables, aux courbes, et aux surfaces
Généraliser le théorème fondamental de l'analyse

\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)

Fonctions de deux variables (Stewart (2020), p. 972)
04:25

Example

Pour chaque fonction, évaluez $f (3, 2)$ , trouvez et esquissez le domaine

$f (x, y) = def \frac{x + y + 1}{x - 1}$
$f (x, y) = def x ln (y^{2} - x)$

Domaine avec Python
04:25

Domaine et image (Stewart (2020), p. 973)
04:25

Example

Trouvez le domaine et l'image de $g (x, y) = def 9 - x^{2} - y^{2}$

Graphes (Stewart (2020), p. 975)
04:25

Definition (Graphe)

G_{f} = def {(x, y, f (x, y)) : (x, y) \in dom f}

Graphes: exemples (Stewart (2020), pp. 975-976)
04:25

Une fonction de type $f (x, y) = a x + b y + c$ est appelée linéaire.

Pour esquisser leurs graphes, trouvez les intersections avec les axes.

Example

Esquissez le graphe de la fonction $f (x) = 6 - 3 x - 2 y$

Graphes: exemples partie II (Stewart (2020), pp. 975-976)
04:25

Certains exemples seront basés sur des courbes connues telles que les cercles ou les paraboles.

Example

Esquissez le graphe des fonctions $g (x, y) = def 9 - x^{2} - y^{2} h (x, y) = def 4 x^{2} + y^{2}$

Courbes de niveau (Stewart (2020), pp. 977-978)
04:25

Definition (Courbes de niveau)

Les courbes de niveau d'une fonction $f$ à deux variables sont les courbes dont l'équation prend la forme $f (x, y) = k$ pour une valeur $k$ constante dans l'image de $f$ .

Courbes de niveau avec Python
04:25

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)
04:25

Example

Esquissez les courbes de niveau de la fonction $f (x, y) = def 6 - 3 x - 2 y$ pour les valeurs $k = - 6, 0, 6, 12$

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)
04:25

Example

Esquissez les courbes de niveau de la fonction $g (x, y) = def 9 - x^{2} - y^{2}$ pour les valeurs $k = 0, 1, 2, 3$

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)
04:25

Example

Esquissez les courbes de niveau de la fonction $h (x, y) = def 4 x^{2} + y^{2} + 1$ pour les valeurs $k = 0, 1, 2, 3$

Fonctions à trois variables ou plus (Stewart (2020), pp. 982-983)
04:25

Les idées vues jusqu'à présent s'étendent naturellement aux fonctions à trois variables ou plus (sauf que l'on parle de surfaces de niveau).

Limites (Stewart (2020), p. 990)
04:25

Nous utiliserons la notation

(x, y) \to (a, b) lim f (x, y) = L

pour indiquer que les valeurs de $f (x, y)$ approchent le nombre $L$ lorsque $(x, y)$ approche $(a, b)$ en restant dans le domaine de $f$ .

Montrer la non-existence d'une limite (Stewart (2020), p. 991)
04:25

Essayez plusieurs "chemins". S'ils donnent des limites différentes, alors la limite n'existe pas

Example

Montrer que

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}

n'existe pas.

Remark

Essayez les chemins en ligne droite

Montrer la non-existence d'une limite (Stewart (2020), p. 992)
04:25

Example

Les limites

(x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}}, (x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y ^{2}}{x ^{2} + y ^{4}},

Propriétés des limites (Stewart (2020), p. 993)
04:25

Proposition

(x, y) \to (a, b) lim (f (x, y) \pm g (x, y)) (x, y) \to (a, b) lim α f (x, y) (x, y) \to (a, b) lim f (x, y) \cdot g (x, y) (x, y) \to (a, b) lim \frac{f ( x , y )}{g ( x , y )} = (x, y) \to (a, b) lim f (x, y) \pm (x, y) \to (a, b) lim g (x, y) = α (x, y) \to (a, b) lim f (x, y) = (x, y) \to (a, b) lim f (x, y) \cdot (x, y) \to (a, b) lim g (x, y) = \frac{lim _{(x, y) \to (a, b)} f ( x , y )}{lim _{(x, y) \to (a, b)} g ( x , y )}

à condition que le membre de droite ait du sens.

Propriétés des limites: exemples (Stewart (2020), p. 994)
04:25

Example

Évaluez les limites suivantes si elles existent:

(x, y) \to (1, 2) lim (x^{2} y^{3} - x^{3} y^{2} + 3 x + 2 y) (x, y) \to (- 2, 3) lim \frac{x ^{2} y + 1}{x ^{3} y ^{2} - 2 x} (x, y) \to (0, 0) lim \frac{3 x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}

Continuité (Stewart (2020), p. 995)
04:25

Definition

Une fonction $f$ est continue en $(a, b)$ si

(x, y) \to (a, b) lim f (x, y) = f (a, b) .

Une fonction est continue sur un ensemble si elle est continue en tout point de cet ensemble.

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)
04:25

Example

Sur quel ensemble la fonction

f (x, y) = def {\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} 0 if (x, y) \neq = (0, 0) if (x, y) = (0, 0)

est-elle continue?

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)
04:25

Example

Sur quel ensemble la fonction

f (x, y) = def {\frac{3 x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 if (x, y) \neq = (0, 0) if (x, y) = (0, 0)

est-elle continue?

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)
04:25

Example

Sur quel ensemble les fonctions

h_{1} (x, y) = def e^{- (x^{2} + y^{2})}, h_{2} (x, y) = def arctan \frac{y}{x}

sont elles continues?

Exercices
04:25

Dérivées partielles: introduction
04:25

Idea

Regarder le comportement d'une fonction dans les directions parallèles aux axes.

Dérivées partielles
04:25

Definition (Dérivées partielles)

\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} = def h \to 0 lim \frac{f ( x + h , y ) - f ( x , y )}{h} = def h \to 0 lim \frac{f ( x , y + h ) - f ( x , y )}{h}

Remark

La dérivée partielle peut également se noter: $\partial_{x} f, \partial_{1} f$ ou encore $f_{x}$

Dérivées partielles: guide pratique (Stewart (2020), p. 1002)
04:25

Il suffit de traiter les autres variables comme constantes et de dériver par rapport à la variable concernée

Example (Dérivées partielles)

Calculez $f_{x} (2, 1)$ et $f_{y} (2, 1)$ pour $f (x, y) = def x^{3} + x^{2} y^{3} - 2 y^{2}$
Calculez les dérivées partielles de $f (x, y) = def sin (\frac{x}{1 + y})$

Dérivées partielles: interprétation (Stewart (2020), p. 1002)
04:25

Interprétation des dérivées partielles: exemple (Stewart (2020), p. 1002)
04:25

Example

Soit $f (x, y) = def 4 - x^{2} - 2 y^{2}$ . Trouvez $f_{x} (1, 1)$ et $f_{y} (1, 1)$ et interprétez ces nombres comme des pentes.

Example

On définit l'indice de masse corporel via la formule

B (m, h) = \frac{m}{h ^{2}},

où $m$ est la masse en kilogrammes et $h$ la hauteur en mètres.

Calculez les dérivées partielles en $m = 64$ kg and $h = 1.68$ m et interprétez.

Dérivées partielles implicites (Stewart (2020), p. 1004)
04:25

Example

Trouvez $\frac{\partial z}{\partial x}$ et $\frac{\partial z}{\partial y}$ , où $z$ est définie implicitement par l'équation

x^{3} + y^{3} + z^{3} + 6 x yz + 4 = 0.

Ensuite, évaluez ces dérivées partielles au point $(- 1, 1, 2)$ .

Dérivées d'ordre plus élevé (Stewart (2020), p. 1005)
04:25

On peut continuer le processus et calculer les dérivées partielles d'une dérivées partielle.

(f_{x})_{x} = def \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial x}) (f_{x})_{y} = def \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) (f_{y})_{x} = def \frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) (f_{y})_{y} = def \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial y})

Dérivées partielles secondes: exemple
04:25

Example

Trouvez les dérivées partielles de

f (x, y) = def x^{3} + x^{2} y^{3} - 2 y^{2}

Théorème de Clairaut
04:25

En général, les dérivées sont symétriques.

Theorem

S'il existe un un disque centré en $(a, b)$ tel que $f$ est défini sur ce disque, et que les fonctions $f_{x y}$ et $f_{y x}$ sont continues sur ce disque, alors

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y \partial x}

Équations aux dérivées partielles
04:25

Example

Montrez que $u (x, y) = def e^{x} sin y$ satisfait l'équation de Laplace

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = 0

Example

Montrez que $u (x, t) = def sin (x - a t)$ satisfait l'équation d'onde

\frac{\partial ^{2} u}{\partial t ^{2}} = a^{2} \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}

Rappels: équations de droites (Stewart (2020), p. 863)
04:25

Definition (Équation vectorielle)

r = point de d \overset{e}{ˊ} part r_{0} + t vecteur directeur v

En coordonnées cartésiennes, on obtient les équations paramétriques

⎩ ⎨ ⎧ x y z = x_{0} + a t = y_{0} + b t = y_{0} + c t

Équations de droite: exemple
04:25

Example

Trouvez une équation vectorielle et les équations paramétriques de la droite passant par $(5, 1, 3)$ et parallèle au vecteur $i + 4 j - 2 k$ .

Équations cartésiennes
04:25

⎩ ⎨ ⎧ x y z = x_{0} + a t = y_{0} + b t = y_{0} + c t

En isolant $t$ , on obtient

t = \frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c} .

Ces équations sont appelées équations cartésiennes

Remark

Remarquez que l'encadré cache deux équations. En effet, une droite est l'intersection de deux plans.

Droites: exemple
04:25

Example

Trouver les équations paramétriques et cartésiennes de la droite qui passe par les points $A (2, 4, - 3)$ et $B (3, - 1, 1)$ . Quand cette droite intercepte-t-elle le plan $x y$ ?

Droites gauches: exemple
04:25

Example

Montrez que les lignes suivantes

⎩ ⎨ ⎧ x y z = 1 + t = - 2 + 3 t = 4 - t ⎩ ⎨ ⎧ x y z = 2 s = 3 + s = - 3 + 4 s

sont gauches

Équation cartésienne d'un plan
04:25

Dans l'espace à 3 dimensions, un plan est déterminé par un point (déterminé par $r_{0}$ ) et une direction normale $n$ . L'équation cartésienne est donnée par

r \cdot n = r_{0} \cdot n

En coordonnées, cela donne:

a x + b y + cz = d d = r_{0} \cdot n, n = (a, b, c)

Équations cartésiennes d'un plan: exemple
04:25

Example

Trouvez l'équation du plan passant par $(2, 4, - 1)$ avec comme vecteur normal $n = (2, 3, 4)$ . Trouvez les intersections avec les axes et esquissez le plan.

Équations cartésiennes d'un plan: exemple àpd 3 points
04:25

Example

Trouvez l'équation du plan passant par les points

P (1, 3, 2), Q (3, - 1, 6) R (5, 2, 0) .

Intersection droite plan: exemple
04:25

Example

Trouvez le point où s'intersectent la droite

⎩ ⎨ ⎧ x y z = 2 + 3 t = - 4 t = 5 + t

et le plan d'équation $4 x + 5 y - 2 z = 18$

Angle entre deux plans
04:25

Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont parallèles
L'angle entre deux plans est l'angle entre leurs vecteurs normaux

Angle entre deux plans: exemple
04:25

Example

Trouvez l'angle entre les plans $x + y + z = 1$ et $x - 2 y + 3 z = 1$
Trouvez les équations cartésiennes de la ligne d'intersection

Distance entre un plan et un point
04:25

Question

Quelle est la distance entre un point $P_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ et le plan $a x + b y + cz + d = 0$ ?

distance = (P_{1} - P_{0}) \cdot \frac{n}{∥ n ∥} = \frac{∣ P _{1} \cdot n - P _{0} \cdot n ∣}{∥ n ∥}

Distance entre un plan et un point: exemple
04:25

Example

Trouvez la distance entre les plans

10 x + 2 y - 2 z = 5, 5 x + y - z = 1

Distance entre deux droites gauches
04:25

Example

Trouvez la distance entre les droites

⎩ ⎨ ⎧ x y z = 1 + t = - 2 + 3 t = 4 - t ⎩ ⎨ ⎧ x y z = 2 s = 3 + s = - 3 + 4 s

Exercises
04:25

Cylindres
04:25

Definition (Cylindre)

Un cylindre est une surface qui consiste en une famille de lignes parallèles qui passent par une coube planaire.

Example

Esquisse la courbe $z = x^{2}$
$x^{2} + y^{2} = 1$ , $y^{2} + z^{2} = 1$

Quadriques
04:25

Definition

Une quadrique est le graphe d'une équation du second degré en $x, y, z$

Esquisses de quadriques
04:25

Example

Esquissez les quadriques d'équation

$x^{2} + \frac{y ^{2}}{9} + \frac{z ^{2}}{4} = 1$
$z = 4 x^{2} + y^{2}$
$z = y^{2} - x^{2}$
$\frac{x ^{2}}{4} + y^{2} - \frac{z ^{2}}{4} = 1$

Quadriques
04:25

Quadriques: exemples
04:25

Example

Identifie et esquisse les surfaces

$4 x^{2} - y^{2} + 2 z^{2} + 4 = 0$
$x^{2} + 2 z^{2} - 6 x - y + 10 = 0$

Plan tangent
04:25

Recall

Pour une fonction à une variable, la tangente est donnée par l'équation

y - y_{0} = \frac{d f}{d x}_{x_{0}} (x - x_{0})

Definition (Plan tangent)

z - z_{0} = \frac{\partial f}{\partial x}_{(x_{0}, y_{0})} (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}_{(x_{0}, y_{0})} (y - y_{0})

Plan tangent: animation
04:25

Plan tangent: exemple
04:25

Example

Trouvez le plan tangent de la paraboloïde elliptique $z = 2 x^{2} + y^{2}$

Approximation linéaire
04:25

On peut approximer une fonction autour d'un point par son plan tangent

Recall (Plan tangent)

z - z_{0} = \frac{\partial f}{\partial x}_{(x_{0}, y_{0})} (x - x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}_{(x_{0}, y_{0})} (y - y_{0})

f (x, y) \approx f (a, b) + \frac{\partial f}{\partial x}_{(a, b)} (x - a) + \frac{\partial f}{\partial y}_{(a, b)} (y - b)

Différentiabilité
04:25

f (x, y) = {\frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} 0 si (x, y) \neq = (0, 0) sinon

Les dérivées partielles sont nulles à l'origine mais la fonction n'a pas de plan tangent. Ce cas n'apparaît pas lorsque les dérivées partielles existent et sont continues autour du point.

La différentielle
04:25

Definition (Différentielle)

d f = \frac{\partial f}{\partial x} d x + \frac{\partial f}{\partial y} d y

Example

Calculez la différentielle de $f (x) = x^{2} + 3 x y - y^{2}$
Si $x$ change de 2 à 2.05 et $y$ change de 3 à $2.96$ , comparez les valeurs de $Δ z$ et $d z$

Différentielle: exemple
04:25

Definition

The base radius and height of a right circular cone are measured as 10 cm and 25 cm, respectively, with a possible error in measurement of as much as 0.1 cm in each. Use differentials to estimate the maximum error in the calculated volume of the cone

Informations pratiques04:25

Informations

Remark

Motivations04:25

Proposition (Équations de Maxwell)

Objectifs du cours04:25

Fonctions de deux variables (Stewart (2020), p. 972)04:25

Example

Domaine avec Python04:25

Domaine et image (Stewart (2020), p. 973)04:25

Example

Graphes (Stewart (2020), p. 975)04:25

Definition (Graphe)

Graphes: exemples (Stewart (2020), pp. 975-976)04:25

Example

Graphes: exemples partie II (Stewart (2020), pp. 975-976)04:25

Example

Courbes de niveau (Stewart (2020), pp. 977-978)04:25

Definition (Courbes de niveau)

Courbes de niveau avec Python04:25

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)04:25

Example

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)04:25

Example

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)04:25

Example

Fonctions à trois variables ou plus (Stewart (2020), pp. 982-983)04:25

Limites (Stewart (2020), p. 990)04:25

Montrer la non-existence d'une limite (Stewart (2020), p. 991)04:25

Example

Remark

Montrer la non-existence d'une limite (Stewart (2020), p. 992)04:25

Example

Propriétés des limites (Stewart (2020), p. 993)04:25

Proposition

Propriétés des limites: exemples (Stewart (2020), p. 994)04:25

Example

Continuité (Stewart (2020), p. 995)04:25

Definition

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)04:25

Example

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)04:25

Example

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)04:25

Example

Exercices04:25

Dérivées partielles: introduction04:25

Idea

Dérivées partielles04:25

Definition (Dérivées partielles)

Remark

Dérivées partielles: guide pratique (Stewart (2020), p. 1002)04:25

Example (Dérivées partielles)

Dérivées partielles: interprétation (Stewart (2020), p. 1002)04:25

Interprétation des dérivées partielles: exemple (Stewart (2020), p. 1002)04:25

Example

Example

Dérivées partielles implicites (Stewart (2020), p. 1004)04:25

Example

Dérivées d'ordre plus élevé (Stewart (2020), p. 1005)04:25

Dérivées partielles secondes: exemple04:25

Example

Théorème de Clairaut04:25

Theorem

Équations aux dérivées partielles04:25

Example

Example

Rappels: équations de droites (Stewart (2020), p. 863)04:25

Definition (Équation vectorielle)

Équations de droite: exemple04:25

Example

Équations cartésiennes04:25

Remark

Droites: exemple04:25

Example

Droites gauches: exemple04:25

Example

Équation cartésienne d'un plan04:25

Équations cartésiennes d'un plan: exemple04:25

Example

Informations pratiques
04:25

Motivations
04:25

Objectifs du cours
04:25

Fonctions de deux variables (Stewart (2020), p. 972)
04:25

Domaine avec Python
04:25

Domaine et image (Stewart (2020), p. 973)
04:25

Graphes (Stewart (2020), p. 975)
04:25

Graphes: exemples (Stewart (2020), pp. 975-976)
04:25

Graphes: exemples partie II (Stewart (2020), pp. 975-976)
04:25

Courbes de niveau (Stewart (2020), pp. 977-978)
04:25

Courbes de niveau avec Python
04:25

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)
04:25

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)
04:25

Courbes de niveau: exemples (Stewart (2020), p. 980)
04:25

Fonctions à trois variables ou plus (Stewart (2020), pp. 982-983)
04:25

Limites (Stewart (2020), p. 990)
04:25

Montrer la non-existence d'une limite (Stewart (2020), p. 991)
04:25

Montrer la non-existence d'une limite (Stewart (2020), p. 992)
04:25

Propriétés des limites (Stewart (2020), p. 993)
04:25

Propriétés des limites: exemples (Stewart (2020), p. 994)
04:25

Continuité (Stewart (2020), p. 995)
04:25

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)
04:25

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)
04:25

Exemples (Stewart (2020), pp. 996-997)
04:25

Exercices
04:25

Dérivées partielles: introduction
04:25

Dérivées partielles
04:25

Dérivées partielles: guide pratique (Stewart (2020), p. 1002)
04:25

Dérivées partielles: interprétation (Stewart (2020), p. 1002)
04:25

Interprétation des dérivées partielles: exemple (Stewart (2020), p. 1002)
04:25

Dérivées partielles implicites (Stewart (2020), p. 1004)
04:25

Dérivées d'ordre plus élevé (Stewart (2020), p. 1005)
04:25

Dérivées partielles secondes: exemple
04:25

Théorème de Clairaut
04:25

Équations aux dérivées partielles
04:25

Rappels: équations de droites (Stewart (2020), p. 863)
04:25

Équations de droite: exemple
04:25

Équations cartésiennes
04:25

Droites: exemple
04:25

Droites gauches: exemple
04:25

Équation cartésienne d'un plan
04:25

Équations cartésiennes d'un plan: exemple
04:25

Équations cartésiennes d'un plan: exemple àpd 3 points
04:25

Intersection droite plan: exemple
04:25

Angle entre deux plans
04:25

Angle entre deux plans: exemple
04:25

Distance entre un plan et un point
04:25

Distance entre un plan et un point: exemple
04:25

Distance entre deux droites gauches
04:25

Exercises
04:25

Cylindres
04:25

Quadriques
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Esquisses de quadriques
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Quadriques
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Quadriques: exemples
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Plan tangent
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Plan tangent: animation
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Plan tangent: exemple
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Approximation linéaire
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Différentiabilité
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La différentielle
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Différentielle: exemple
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Exercices
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