Intégrales multiples

Chapitre 2

Intégrale: rappels
04:22

\int_{a}^{b} f (x) d x = aire alg \overset{e}{ˊ} brique sous le graphe de f ∣_{[a, b]}

Theorem (Théorème fondamental)

\int_{a}^{b} \frac{d f}{d x} d x = f (b) - f (a) \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)

Intégrales itérées
04:22

Example

Évaluez les intégrales

\int_{0}^{3} \int_{1}^{2} x^{2} y d y d x \int_{1}^{2} \int_{0}^{3} x^{2} y d x d y

Intégrale double sur un rectangle
04:22

Definition

\iint_{R} f (x, y) d A = volume alg \overset{e}{ˊ} brique sous le graphe de f ∣_{R}

Si l'intégrale double existe, on peut échanger l'ordre d'intégration.

Theorem (Fubini)

\iint_{[a, b] \times [c, d]} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f (x, y) d y d x = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f (x, y) d x d y

Intégrale: interprétation
04:22

Intégrales doubles: exemple
04:22

Example

\iint_{[0, 2] \times [1, 2]} x - 3 y^{2} d A

Example

\iint_{[1, 2] \times [0, π]} y sin (x y) d A

Application: volumes
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Example

Trouvez le volume du solide $S$ qui est délimité par le paraboloïde hyperbolique $x^{2} + 2 y^{2} + z = 16$ , les plans $x = 2$ , $y = 2$ , et les plans des coordonnées.

Example: intégrale séparable
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Example

Calculez l'intégrale

\iint_{[0, π /2]^{2}} sin x cos y d A

Valeur moyenne
04:22

Definition

moyenne = \frac{1}{aire ( R )} \iint_{R} f (x, y) d A

Example

Calculez la moyenne de

f (x, y) = def x^{2} y

sur le rectangle $R = [- 1, 1] \times [0, 5]$ .

Double intégrale sur des régions générales
04:22

Definition

Si $D$ est une région quelconque contenue dans un rectangle $R$ , alors

\iint_{D} f (x, y) d A = def \iint_{R} F (x, y) d A,

où

F

est l'extension par zéro de

f

sur

R

Intégrale double de type I
04:22

Example

Évaluez l'intégrale

\iint_{D} x + 2 y d A,

où $D$ est sa surface déterminée par les paraboles $y = 2 x^{2}$ et $y = 1 + x^{2}$ .

Intégrale double de type I: volume
04:22

Example

Trouvez le volume du solide sous le paraboloïde

z = x^{2} + y^{2}

au dessus de la région formée par la droite $y = 2 x$ et la parabole $y = x^{2}$

Intégrale double de type II
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Example

Evaluez

\iint_{D} x y d A,

où $D$ est la région délimitée par la droite $y = x - 1$ et la parabole $y^{2} = 2 x + 6$ .

Exemple: tetrahèdre
04:22

Example

Trouvez le volume du tetrahèdre délimité par les plans

x + 2 y + z = 2, x = 2 y, x = 0, y = 0.

Application de Fubini
04:22

Example

Évaluez l'intégrale

\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} sin (y^{2}) d y d x

Propriété des intégrales doubles
04:22

Proposition (Linéarité)

\iint_{D} f (x, y) + g (x, y) d A \iint_{D} c f (x, y) d A = \iint_{D} f (x, y) d A + \iint_{D} g (x, y) d A = c \iint_{D} f (x, y) d A

Proposition (Croissance)

f (x, y) \geq g (x, y) ⟹ \iint_{D} f (x, y) d A \geq \iint_{D} g (x, y) d A

Proposition (Additivité)

Si $D_{1}$ et $D_{2}$ ne se touchent que sur leurs frontières

D = D_{1} \cup D_{2} \iint_{D} f (x, y) d A = \iint_{D_{1}} f (x, y) d A + \iint_{D_{2}} f (x, y) d A

Estimation de l'intégrale
04:22

Example

Estimez l'intégrale

\iint_{D} e^{s i n x c o s y} d A,

où $D$ est le disque centré à l'origine de rayon $2$

Exercices
04:22

Coordonnées polaires
04:22

{x y = r cos θ = r sin θ ⟺ {r tan θ = x^{2} + y^{2} = \frac{y}{x}

Question

Quand les coordonnées polaires sont-elles utiles?

Intégrales doubles en coordonnées polaires
04:22

Recall (Changement de variable)

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{t_{a}}^{t_{b}} f (x (t)) \frac{d x}{d t} d t

Proposition

\iint_{R} f (x, y) d A = \int_{α}^{β} \int_{a}^{b} f (r cos θ, r sin θ) r d r d θ,

où $R = def {(r cos θ, r sin θ) : r \in [a, b], θ \in [α, β]}$

Intégrales doubles en coordonnées polaires
04:22

\iint_{R} f (x, y) d A = \int_{α}^{β} \int_{a}^{b} f (r cos θ, r sin θ) r d r d θ,

Question

Quand employer les coordonnées polaires?

Remark

N'oubliez pas le facteur $r$ supplémentaire!

d A = r d r d θ

Intégration en coordonnées polaires: exemple
04:22

Example

Évaluez l'intégrale

\iint_{R} 3 x + 4 y^{2} d A, R = {(x, y) : y \geq 0, 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4}

sin^{2} θ = \frac{1 - cos 2 θ}{2}

Intégrale en coordonnées polaires: exemple
04:22

Example

Trouvez le volume du solide délimité par le plan $z = 0$ et le paraboloïde $z = 1 - x^{2} - y^{2}$ .

Remark

Si on avait essayé d'intégrer en $(x, y)$ , nous aurions eu

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1 - x^{2}}^{1 - x^{2}} 1 - x^{2} - y^{2} d y d x

Un exemple un peu plus complexe
04:22

Example

Utilisez une intégrale double pour trouver l'aire comprise entre une boucle de $r = cos 2 θ$

Un autre exemple
04:22

Example

Trouvez le volume du solide qui se trouve en dessous du paraboloïde $z = x^{2} + y^{2}$ , au-dessus du plan $x y$ et à l'intérieur du cylindre $x^{2} + y^{2} = 2 x .$

Exercises
04:22

Applications des intégrales doubles
04:22

Definition (Densité)

ρ (x, y) densit \overset{e}{ˊ} = lim \frac{Δ m}{Δ A}

m \approx i \sum j \sum ρ (x_{ij}, y_{ij}) Δ A

Masse et densité sont reliées par la formule

m = \iint_{D} ρ (x, y) d A

Exemple: charge
04:22

Example

La charge est distribuée sur le triangle formés par les points $(0, 1), (1, 0), (1, 1)$ avec la densité de charge suivante

σ (x, y) = x y

Calculez la charge totale

Moments et centres de masse
04:22

Recall

moyenne = \frac{\iint _{E} f ( x , y ) ρ ( x , y ) d A}{\iint _{E} ρ ( x , y ) d A}, ρ (x, y) = def 1

De manière similaire, le centre de masse est une moyenne du vecteur position $r$ pondérée par la densité de masse.

centre de masse = \frac{\iint _{E} r ρ ( r ) d A ( r )}{masse \iint _{E} ρ ( r ) d A ( r )}

Exemple: centre de masse
04:22

Example

Trouvez la masse et le centre de masse d'une lamelle triangulaire dont les sommets sont $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(0, 2)$ sachant que la densité est

ρ (x, y) = 1 + 3 x + y

Exemple: centre de masse en coordonnées polaires
04:22

Example

La densité d'une lamelle est proportionnelle à la distance au centre du cercle. Trouvez son centre de masse

Probabilité
04:22

Pr ((X, Y) \in D) = \iint_{D} f (x, y) densit \overset{e}{ˊ} de probabilit \overset{e}{ˊ} d A

Example

Sachant que la densité jointe de $X, Y$ est donnée par

f (x, y) = def {C (x + 2 y) 0 si 0 \leq x \leq 100, 0 \leq y \leq 10 sinon

trouvez la valeur de $C$ et $P (X \leq 7, Y \geq 2)$

Intégrales triples
04:22

Example

∭_{B} x y z^{2} d V, B = def {(x, y, z) : 0 \leq x \leq 1, - 1 \leq y \leq 2, 0 \leq z \leq 3}

Intégrale triple: ordre d'intégration
04:22

Example

∭_{E} z d V

où $E$ est le solide délimité par les plans

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1

Intégrale triple: ordre d'intégration
04:22

Example

∭_{E} x^{2} + z^{2} d V

où $E$ est la région délimitée par le paraboloïde $y = x^{2} + z^{2}$ et le plan $y = 4$ .

∭_{E} x^{2} + z^{2} d V = \iint_{D} [\int_{x^{2} + z^{2}}^{4} x^{2} + z^{2} d y] d A = \iint_{D} (4 - x^{2} - z^{2}) r x^{2} + z^{2} d A

Application des intégrales triples
04:22

Example

Utilisez une intégrale triple pour trouver le volume du tétrahèdre délimité par les plans

x + 2 y + z = 2, x = 2 y, x = 0, z = 0

Application: centre de masse
04:22

m = ∭_{E} ρ (x, y, z) d V ⟹ centre de masse = def \frac{1}{m} ∭_{E} ρ (r) r d V

Example

Trouvez le centre de masse du solide uniorme délimité par le cylindre parabolique $x = y^{2}$ et les plans $x = z$ , $z = 0$ , $x = 1$ .

Coordonnées cylindriques
04:22

(r, θ, z) coord. cylindriques = (r, θ) coord. polaires en (x, y) + z

⎩ ⎨ ⎧ x y z = r cos θ = r sin θ = z \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ r^{2} tan θ z = x^{2} + y^{2} = \frac{y}{x} = z

Intégration en cooronnées cylindriques
04:22

Example

Un solide est contenu dans le cylindre $x^{2} + y^{2} = 1$ , en-dessous du plan $z = 4$ et au-dessus du paraboloïde $z = 1 - x^{2} - y^{2}$ . La densité est proportionnelle à la distance à l'axe du cylindre. Trouvez la masse.

E = {(r, θ, z) : θ \in [0, 2 π], r \in [0, 1], z \in [1 - r^{2}, 4]}

Intégrale multiple: changement de coordonnées
04:22

Example

Calculez

\int_{- 2}^{2} \int_{- 4 - x^{2}}^{4 - x^{2}} \int_{x^{2} + y^{2}}^{2} x^{2} + y^{2} d z d y d x

Exercises
04:22

Coordonnées sphériques
04:22

⎩ ⎨ ⎧ x x z = ρ sin ϕ cos θ = ρ sin ϕ sin θ = ρ cos ϕ

ρ^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}

Convertir en coordonnées cartésiennes
04:22

⎩ ⎨ ⎧ x x z = ρ sin ϕ cos θ = ρ sin ϕ sin θ = ρ cos ϕ

Example

Le point $(2, π /4, π /3)$ est donné en coordonnées sphériques. Trouvez ses coordonnées

Convertir en coordonnées sphériques
04:22

⎩ ⎨ ⎧ x x z = ρ sin ϕ cos θ = ρ sin ϕ sin θ = ρ cos ϕ ⟹ ⎩ ⎨ ⎧ ρ^{2} cos ϕ cos θ = x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{z}{ρ} = \frac{x}{ρ s i n ϕ}

Example

Le point $(0, 23, - 2)$ est donné en coordinées cartésiennes. Trouvez les coordonnées sphériques.

Changement de variable
04:22

Recall

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (x (t) \frac{d x}{d t} d t

La formule est légèrement plus complexe à plusieurs variables: $\frac{d x}{d t}$ est remplacé par la valeur absolue du déterminant de la matrice des dérivées partielles:

\iint_{R} f (x, y) d A = \iint_{S} f (x (u, v), y (u, v) \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial v} d u d v

Remark

Écrivons $r = (x, y)$ en dimension 2 et $r = (x, y, z)$ en dimension 3

En dimension deux, on peut remplacer le déterminant par $\frac{\partial r}{\partial u} \times \frac{\partial r}{\partial v}$
En dimension trois, on peut remplacer le déterminant par $\frac{\partial r}{\partial u} \cdot (\frac{\partial r}{\partial v} \times \frac{\partial r}{\partial w})$

Calcul des jacobiens
04:22

Coordonnées polaires

d A = r d r d θ

Coordonnées sphériques

Intégration en coordonnées sphériques
04:22

d V = ρ^{2} sin ϕ d ρ d θ d ϕ

Example

Évaluez l'intégrale

∭_{B} e^{(x^{2} + y^{2} + z^{2})^{3/2}} d V

où $B$ est la boule unité

Intégration en coordonnées sphériques
04:22

Example

Utilisez les coordonnées sphériques pour trouver le volume du solide au dessus du cône $z = x^{2} + y^{2}$ et en-dessous de la sphère $x^{2} + y^{2} + z^{2} = z$

Écrire les équations données en coordonnées sphériques
Écrire le domaine d'intégrations en coord. sphériques

Intégrale: rappels04:22

Theorem (Théorème fondamental)

Intégrales itérées04:22

Example

Intégrale double sur un rectangle04:22

Definition

Theorem (Fubini)

Intégrale: interprétation04:22

Intégrales doubles: exemple04:22

Example

Example

Application: volumes04:22

Example

Example: intégrale séparable04:22

Example

Valeur moyenne04:22

Definition

Example

Double intégrale sur des régions générales04:22

Definition

Intégrale double de type I04:22

Example

Intégrale double de type I: volume04:22

Example

Intégrale double de type II04:22

Example

Exemple: tetrahèdre04:22

Example

Application de Fubini04:22

Example

Propriété des intégrales doubles04:22

Proposition (Linéarité)

Proposition (Croissance)

Proposition (Additivité)

Estimation de l'intégrale04:22

Example

Exercices04:22

Coordonnées polaires04:22

Question

Intégrales doubles en coordonnées polaires04:22

Recall (Changement de variable)

Proposition

Intégrales doubles en coordonnées polaires04:22

Question

Remark

Intégration en coordonnées polaires: exemple04:22

Example

Intégrale en coordonnées polaires: exemple04:22

Example

Remark

Un exemple un peu plus complexe04:22

Example

Un autre exemple04:22

Example

Exercises04:22

Applications des intégrales doubles04:22

Definition (Densité)

Exemple: charge04:22

Example

Moments et centres de masse04:22

Recall

Exemple: centre de masse04:22

Example

Exemple: centre de masse en coordonnées polaires04:22

Example

Probabilité04:22

Example

Intégrales triples04:22

Example

Intégrale triple: ordre d'intégration04:22

Example

Intégrale triple: ordre d'intégration04:22

Example

Application des intégrales triples04:22

Example

Application: centre de masse04:22

Example

Coordonnées cylindriques04:22

Intégration en cooronnées cylindriques04:22

Example

Intégrale: rappels
04:22

Intégrales itérées
04:22

Intégrale double sur un rectangle
04:22

Intégrale: interprétation
04:22

Intégrales doubles: exemple
04:22

Application: volumes
04:22

Example: intégrale séparable
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Valeur moyenne
04:22

Double intégrale sur des régions générales
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Intégrale double de type I
04:22

Intégrale double de type I: volume
04:22

Intégrale double de type II
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Exemple: tetrahèdre
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Application de Fubini
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Propriété des intégrales doubles
04:22

Estimation de l'intégrale
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Exercices
04:22

Coordonnées polaires
04:22

Intégrales doubles en coordonnées polaires
04:22

Intégrales doubles en coordonnées polaires
04:22

Intégration en coordonnées polaires: exemple
04:22

Intégrale en coordonnées polaires: exemple
04:22

Un exemple un peu plus complexe
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Un autre exemple
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Exercises
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Applications des intégrales doubles
04:22

Exemple: charge
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Moments et centres de masse
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Exemple: centre de masse
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Exemple: centre de masse en coordonnées polaires
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Probabilité
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Intégrales triples
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Intégrale triple: ordre d'intégration
04:22

Intégrale triple: ordre d'intégration
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Application des intégrales triples
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Application: centre de masse
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Coordonnées cylindriques
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Intégration en cooronnées cylindriques
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Intégrale multiple: changement de coordonnées
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Exercises
04:22

Coordonnées sphériques
04:22

Convertir en coordonnées cartésiennes
04:22

Convertir en coordonnées sphériques
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Changement de variable
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Calcul des jacobiens
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Intégration en coordonnées sphériques
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Intégration en coordonnées sphériques
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Exercices
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