Les séances d'exercices seront également présentes sur mon site. Nous nous baserons sur le calculus, mais je ferai en sorte que tout soit compris dans les slides.
Deux interactions dominent à notre échelle: la gravitation et l'électromagnétisme.
Pour chaque fonction, évaluez f(3,2), trouvez et esquissez le domaine
Trouvez le domaine et l'image de g(x,y)=def9−x2−y2
Une fonction de type f(x,y)=ax+by+c est appelée linéaire.
Pour esquisser leurs graphes, trouvez les intersections avec les axes.
Esquissez le graphe de la fonction f(x)=6−3x−2y
Certains exemples seront basés sur des courbes connues telles que les cercles ou les paraboles.
Esquissez le graphe des fonctionsg(x,y)=def9−x2−y2h(x,y)=def4x2+y2
Les courbes de niveau d'une fonction f à deux variables sont les courbes dont l'équation prend la forme f(x,y)=k pour une valeur k constante dans l'image de f.
Esquissez les courbes de niveau de la fonction f(x,y)=def6−3x−2y pour les valeurs k=−6,0,6,12
Esquissez les courbes de niveau de la fonction g(x,y)=def9−x2−y2 pour les valeurs k=0,1,2,3
Esquissez les courbes de niveau de la fonction h(x,y)=def4x2+y2+1 pour les valeurs k=0,1,2,3
Les idées vues jusqu'à présent s'étendent naturellement aux fonctions à trois variables ou plus (sauf que l'on parle de surfaces de niveau).
Nous utiliserons la notation
(x,y)→(a,b)limf(x,y)=Lpour indiquer que les valeurs de f(x,y) approchent le nombre L lorsque (x,y) approche (a,b) en restant dans le domaine de f.
Essayez plusieurs "chemins". S'ils donnent des limites différentes, alors la limite n'existe pas
Montrer que
(x,y)→(0,0)limx2+y2x2−y2n'existe pas.
Essayez les chemins en ligne droite
Les limites
(x,y)→(0,0)limx2+y2xy,(x,y)→(0,0)limx2+y4xy2,à condition que le membre de droite ait du sens.
Évaluez les limites suivantes si elles existent:
(x,y)→(1,2)lim(x2y3−x3y2+3x+2y)(x,y)→(−2,3)limx3y2−2xx2y+1(x,y)→(0,0)limx2+y23x2yUne fonction f est continue en (a,b) si
(x,y)→(a,b)limf(x,y)=f(a,b).Une fonction est continue sur un ensemble si elle est continue en tout point de cet ensemble.
Sur quel ensemble la fonction
f(x,y)=def{x2+y2x2−y20if (x,y)=(0,0)if (x,y)=(0,0)est-elle continue?
Sur quel ensemble la fonction
f(x,y)=def{x2+y23x2y0if (x,y)=(0,0)if (x,y)=(0,0)est-elle continue?
Sur quel ensemble les fonctions
h1(x,y)=defe−(x2+y2),h2(x,y)=defarctanxysont elles continues?
Regarder le comportement d'une fonction dans les directions parallèles aux axes.
La dérivée partielle peut également se noter: ∂xf,∂1f ou encore fx
Il suffit de traiter les autres variables comme constantes et de dériver par rapport à la variable concernée
Soit f(x,y)=def4−x2−2y2. Trouvez fx(1,1) et fy(1,1) et interprétez ces nombres comme des pentes.
On définit l'indice de masse corporel via la formule
B(m,h)=h2m,où m est la masse en kilogrammes et h la hauteur en mètres.
Calculez les dérivées partielles en m=64 kg and h=1.68 m et interprétez.
Trouvez ∂x∂z et ∂y∂z, où z est définie implicitement par l'équation
x3+y3+z3+6xyz+4=0.Ensuite, évaluez ces dérivées partielles au point (−1,1,2).
On peut continuer le processus et calculer les dérivées partielles d'une dérivées partielle.
(fx)x=def∂x∂(∂x∂f)(fx)y=def∂y∂(∂x∂f)(fy)x=def∂x∂(∂y∂f)(fy)y=def∂y∂(∂y∂f)Trouvez les dérivées partielles de
f(x,y)=defx3+x2y3−2y2
En général, les dérivées sont symétriques.
S'il existe un un disque centré en (a,b) tel que f est défini sur ce disque, et que les fonctions fxy et fyx sont continues sur ce disque, alors
∂x∂y∂2f=∂y∂x∂2fMontrez que u(x,y)=defexsiny satisfait l'équation de Laplace
∂x2∂2u+∂y2∂2u=0
Montrez que u(x,t)=defsin(x−at) satisfait l'équation d'onde
∂t2∂2u=a2∂x2∂2uEn coordonnées cartésiennes, on obtient les équations paramétriques
⎩⎨⎧xyz=x0+at=y0+bt=y0+ctTrouvez une équation vectorielle et les équations paramétriques de la droite passant par (5,1,3) et parallèle au vecteur i+4j−2k.
En isolant t, on obtient
t=ax−x0=by−y0=cz−z0.Ces équations sont appelées équations cartésiennes
Remarquez que l'encadré cache deux équations. En effet, une droite est l'intersection de deux plans.
Trouver les équations paramétriques et cartésiennes de la droite qui passe par les points A(2,4,−3) et B(3,−1,1). Quand cette droite intercepte-t-elle le plan xy?
Montrez que les lignes suivantes
⎩⎨⎧xyz=1+t=−2+3t=4−t⎩⎨⎧xyz=2s=3+s=−3+4ssont gauches
Dans l'espace à 3 dimensions, un plan est déterminé par un point (déterminé par r0) et une direction normale n. L'équation cartésienne est donnée par
r⋅n=r0⋅nEn coordonnées, cela donne:
ax+by+cz=dd=r0⋅n,n=(a,b,c)Trouvez l'équation du plan passant par (2,4,−1) avec comme vecteur normal n=(2,3,4). Trouvez les intersections avec les axes et esquissez le plan.
Trouvez l'équation du plan passant par les points
P(1,3,2),Q(3,−1,6)R(5,2,0).
Trouvez le point où s'intersectent la droite
⎩⎨⎧xyz=2+3t=−4t=5+tet le plan d'équation 4x+5y−2z=18
Quelle est la distance entre un point P1(x1,y1,z1) et le plan ax+by+cz+d=0?
Trouvez la distance entre les plans
10x+2y−2z=5,5x+y−z=1
Trouvez la distance entre les droites
⎩⎨⎧xyz=1+t=−2+3t=4−t⎩⎨⎧xyz=2s=3+s=−3+4s
Un cylindre est une surface qui consiste en une famille de lignes parallèles qui passent par une coube planaire.
Une quadrique est le graphe d'une équation du second degré en x,y,z
Esquissez les quadriques d'équation
Identifie et esquisse les surfaces
Pour une fonction à une variable, la tangente est donnée par l'équation
y−y0=dxdfx0(x−x0)Trouvez le plan tangent de la paraboloïde elliptique z=2x2+y2
On peut approximer une fonction autour d'un point par son plan tangent
Les dérivées partielles sont nulles à l'origine mais la fonction n'a pas de plan tangent. Ce cas n'apparaît pas lorsque les dérivées partielles existent et sont continues autour du point.
The base radius and height of a right circular cone are measured as 10 cm and 25 cm, respectively, with a possible error in measurement of as much as 0.1 cm in each. Use differentials to estimate the maximum error in the calculated volume of the cone